مجله اینترنتی دیتاسرا
امروز سه شنبه ۲۰ آذر ۱۳۹۷

مکانیک شکست (Fracture Mechanics)

مکانیک شکست (Fracture Mechanics)

مقدمه : یکی از عمده ‌ترین مسائلی که انسان از زمان ساختن ساده‌ترین ابزارها با آن مواجه بوده است پدیده شکست در اجسام می‌باشد و درواقع برای استفاده از مواد به صورت ابزارهای گوناگون باید مقاومت آنها را نیز می‌دانست. بنابراین به جرأت می‌توان گفت که علم مقاومت مصالح عمری برابر عمر تاریخ دارد. البته روند شناخت و برآورد مقاومت اجسام از روشهای تجربی و ابتدایی شروع شده و به روشهای کاملاً علمی قرن حاضر رسیده است. 

علم مقاومت مصالح دارای شاخه‌های گوناگونی می باشد که رشد قابل توجهی داشته اند. یکی از شاخه های این علم با کاربرد زیاد و تحلیل علمی نسبتاً مشکل، مکانیک شکست می‌باشد. به توجه به لزوم بکارگیری مواد جدید و گوناگون در گستره وسیع تکنولوژی معیارهای نوینی در روش های طراحی را الزامی نموده است. در این میان علم مکانیک شکست مورد توجه خاصی قرار گرفته است. 

مکانیک شکست به عنوان نظم مهندسی در دهه ۱۹۵۰ و توسط آقای Georg Rirwin در لابراتور تحقیقاتی ناوال (NRL) معرفی شد. درسالهای بعد در دهه ۱۹۶۰ مفاهیم مکانیک شکست طی تحقیقات مختلف در دانشگاهها و مراکز تحقیقاتی گسترش داده شدند. اصول مکانیک شکست کاربردهای مختلفی در طراحی مهندسی شامل آنالیز شکست سازهای تردد و پیش بینی گسترش ترک خستگی ، دارند. با توجه به اینکه ۸۰ درصد شکست‌های ترد ریشه  در گسترش ترک خستگی دارند استفاده از مکانیک شکست می‌تواند بسیارمفید باشد.

در این سیمنار سعی شده است اصول  مفاهیم اولیه مکانیک شکست و کاربرد آن در روسازیهای بتنی به اختصار توضیح داده شود. 

تاریخچه‌ای از مکانیک شکست 

با پیشرفت تکنولوژی در عصر حاضر، پدیده شکست در اجسام از اهمیت بیشتری نسبت به گذشته برخوردار شد متلاشی شدن بسیاری از هواپیماها و فضاپیماها در طی دهه ای گذشته لزوم درک دقیق تری از مکانیک شکست در اجسام را در علوم جدید ایجاب می کند در واقع گسیختگی ناگهانی بسیاری از تجهیزات در سازه های صنعتی نه تنها عواق جانی ناگواری در پی دارد بلکه ضررهای چشمگیر اقتصادی را نیز مسبب می شود. 

در طی سالهای پس از جنگ جهانی دوم پیشرفت های زیادی در مکانیک شکست حاصل شد ولی تا دانسته‌های زیادی همچنان باقی است و زمینه برای تحقیقات بیشتر فراهم می‌باشد. 

تحقیقات اخیر نشان داده است که قیمت ضررهای ناشی از شکست ‌های ناگهانی در ایالات متحده آمریکا در سال ۱۹۷۸ بالغ بر ۱۱۹ میلیارد دلار گردیده که در حدود ۴% تولید ناخالص ملی این کشور را تشکیل می‌دهد. این مطالعات پیش بینی نموده است که اگر تکنولوژی پیشرفته زمان حاضر در این صنایع استفاده می شد می توانست حدود ۳۵ میلیارد دلار و در صورت بهره گیری از نتایج و تحقیقات بیشتر در این زمینه، حدود ۲۸ میلیارد دلار دیگر صرفه جویی اقتصادی را در پی داشت. 

توجه مکانیک شکست به جلوگیری از شکست ترد می باشد و به عنوان اصطلاح علمی کمتر از ۴۰ سال سابقه دارد هر چند که توجه به شکست ترد جدید نیست. باستانیان به این مساله توجه داشتند و برای جلوگیری از شکست سازه ها را به گونه ای طراحی می کردند که همواره در فشار باشند. بسیاری از سازه های مصریان، رومیان و ایرانیان باستان همچنان پابرجا هستند و از نظر علمی مهندسی جدید تحسین برانگیز می‌باشند. طراحی پل رومیان حالت قوسی داشته و باعث ایجاد تنش های فشاری در سازه‌ می‌شدند. شکل قوسی در اغلب سازه‌های قدیمی ایرانی از قبیل سقف های گندبی نیز فراوان دیده می شود. با توجه به اینکه دانش مکانیک آن زمان محدود بود ساخت بناها با طراحی موفق مستلزم سعی و خطاهای بسیاری بوده است. 

انقلاب صنعتی دگرگونی عظیمی در مواد به کار رفته در سازه ها بوجود آورد و آن استفاده از آهن و فولاد بود استفاده از فولاد در سازه های صنعتی این امکان را بوجود آورد که بتوان از قابلیت کششی مواد نیز استفاده کرد. با وجود این تغییر در مصالح گاهی منجر به شکست‌های پیش بینی نشده می‌گردید. یکی از معروف ترین حوادث از نوع فوق گسیختگی مخزنی در کارخانه قند بوستون بود که منجر به هدر رفتن دو میلیون گالن شیره قند، مرگ ۱۲ نفر و مجروح شدن ۴۰ نفر و ضایعات بسیار گردید که علت آن همچنان مبهم مانده است. 

تحقیقات اولیه در مکانیک شکست 

یکی از اولین تلاشها برای مطالعه مقاومت مصالح به صورت سیستماتیک توسط لئونارد داوینچی اعلام شده و بر روی مقاومت تیرها و سیم ها تحقیق کرد. او متوجه شد که مقاومت سیم ها با طول آنها نسبت عکس دارد. 

گالیله در سال ۱۶۳۸ تحقیقاتی در زمینه مقاومت کششی انجام داد که آن را «مقاومت مطلق در برابر شکست» نامید و با انجام آزمایش بر روی مقاومت یک مبله نشان داد که مقاومت میله با سطح مقطع آن متناسب است و مستقل از طول می‌باشد. 

تحقیقات اصلی در قرن ۱۹ و با تغییر مصالح از چوب و آجر و سنگ به فولاد انجام شد. نخستین بار تأثیر گسترش ترک و نقش آن در گسیختگی خستگی توسط رانکلین (۱۸۴۳) و در رابطه با شکست محورهای راه آهن بحث شد. 

تأثیر ترک در مقاومت شکست در اواخر قرن ۱۹ مورد توجه قرار گرفت ولی طبیعت دقیق تأُثیر آن مشخص نشد. در سال ۱۹۱۳ اینگلیس روش تحلیل تنش در اطراف یک سوراخ بیضی شکل در صفحه ارائه نمود. گریفیث هفت سال بعد (۱۹۲۰) با استفاده از این روش تحلیل برای حل انتشار یک ترک ناپایدار به کار گرفت. وی با استفاده از قانون اول ترمودینامیک توانست تئوری شکست را براساس یک تعادل ساده انرژی پایه گذاری کند. 

بر طبق این تئوری، شرط ناپایداری در رشد ترک و شکست در یک جسم آنست که تغییر در انرژی کرنش حاصل از رشد ترک برای غلبه بر انرژی سطحی مواد کافی باشد. برای توضیح بیشتر به فصل بعد مراجعه شود) مدل کریفیث بدرستی رابطه بین مقاومت و ابعاد ترک در شیشه را پیش بینی می‌کرد. تلاش بعدی جهت تعمیم مدل گریفیث برای فلزات تا قبل از ۱۹۴۸ ناموفق بود زیرا این مدل فرض می کند که کار لازم برای شکست منحصراً ناشی از انرژی سطحی مواد است که در واقع این فرض تنها برای موارد کاملاً ترد صادق است. 

تجربه کشتی‌های لیبرتی (Liberty)

در روزهای اول جنگ جهانی دوم ایالات متحده آمریکا در چهارچوب قرار دارد لنر لیز مبادرت به ارسال کشتی و هواپیما به بریتانیا نمود. این کشتی‌ها توسط مهندس معروف امریکای هنری کیزر ساخته شد. کشتی‌های لیبرتی برای حمل بار طراحی شده بودند، ۴۴۱ فوت طول و ظرفیت حمل بار معادل ۹۰۰۰ تن را داشتند. تا قبل از این تاریخ کشتی‌ها با کمک پرچ کردن ساخته می شدند اما بدلیل نیاز شدید زمان جنگ از جوشکاری استفاده شد که آن زمان روش جدیدی محسوب می شد. این عمل باعث کاهش چشمگیری در زمان ساخت کششتی‌ها شد. در طول چهار سال ۱۹۴۰ تا ۱۹۴۴ ، ۲۷۰۸ عدد از این کشتی ها ساخته شد. ولی در سال ۱۹۴۳ هنگامی که یکی از کشتی ها بین سیبری در آلاسکا در حرکت بود به دو نیم تقسیم شد. شکستهای بعدی در بسیاری از بدنه های دیگر کشتی‌ها در فاصله زمانی کوتاهی اتفاق افتاد به طوریکه از ۲۷۰۰ کشتی، ۴۰۰ کشتی دچار شکست در بدنه شدند. این حوادث به خصوص در دریاهای سرد و خشن اتفاق افتاد. تحقیقات بعدی با توجه به اصول مکانیک شکست نشان داد که علل اساسی شکست ناشی از عوامل زیر بود: 

- جوشکاری توسط افراد نیمه ماهر انجام شده بود و ترک‌های ریز در قسمتهای جوش شده باقی مانده بود. 

- اکثر شکست‌ها از نواحی اتصالات گوشه‌ای که دارای تمرکز تنش‌ زیادی بودند شروع شده بود. 

- فولاد به کار رفته برای ساخت کشتی‌های لیبرتی از چقرمگی کمی برخوردار بوده است.

چنانچه در ساختن این کشتی ها با حفظ همان نوع فولاد از اتصالات پرچ شده استفاده می‌شد، عملاً امکان گسترش ترک از بین می رفت. اتصالات جوش شده درواقع پیکره واحدی را تشکیل می دهد و ترکی که از ناحیه خاصی شروع می شود و در شرایط احراز بحرانی بدون توقف بسرعت گسترش می یابد. در برخی از کشتی‌ها گسترش ترک باعث دو نیم شدن کشتی در جهت عرضی شد. پس از وقوع حوادث فوق، در کشتی‌های بعدی از قطعات تقویتی استفاده شد که به نواحی دارای تمرکز تنش پرچ می‌شدند و نقش متوقف کننده ترک  را ایفا می‌کردند. 

تجربه هواپیماهای کمت 

این هواپیماها ابتدا در سال ۱۹۵۲ ساخته شدند و اولین هواپیماهای مسافری با دو موتور جت بودند که قادر به پرواز ۴۰.۰۰۰ فوت بودند. بعد از گذشت یک سال از بهره برداری سه هواپیما دچار حادثه شدند که خسارات جانی و مالی بسیاری به همراه داشتند. پس از بررسی‌های انجام شده بر روی بخش های بدنه یکی از هواپیماها دلیل ایجاد حادثه یک ترک خستگی کوچک که از یک پنجره بیش از حد داغ شده آغاز شده بود، عنوان شد. این ترک کوچک باعث از هم پاشیدن بدنه هواپیما شده بود. 

تحقیقات در مکانیک در مکانیک شکست پس ازجنگ دوم جهانی 

تجربه کشتی‌های لیبرتی و هواپیماهای کمت باعث شد تا گروهی از محققان در آزمایشگاه تحقیقاتی دریایی در واشنگتن دی – سی امریکا مطالعات جدی را برای بهبود دانش مکانیک شکست در اجسام سازماندهی کنند. سرپرستی این گروه را دکتر ایروین  بعهده داشت. پس از مطالعات اولیه اینگلیس و گریفیث، ایروین معتقد بود که ابزار اساسی برای تحلیل شکست در اجسام فراهم شده است. مهمترین نقش ایروین در این رابطه ، تعمیم تئوری گریفیث برای فلزات بود. وی خاطر نشان ساخت که برای رشد ترک، علاوه بر انرژی سطحی بایستی انرژی لازم برای غلبه بر جریان پلاستیک در اطراف ترک نیز فراهم شود. او روان  و موت  نیز مستقلاً تئوری مشابهی را ارائه نمودند. در سال ۱۹۵۶ ایروین مفهوم نرخ رهایی انرژی   را عنوان نمود که تعمیم تئوری گریفیث بود ولی به صورت کاربردی برای حل مسائل مهندسی استفاده می شد. در این میان نظر ایروین و همکاران توسط وسترکارد  در سال ۱۹۳۹ منتشر شده بود که در آن روشی برای تحلیل تنش و تغیر مکان در نوک یک ترک ارائه گردیده بود. ایروین با استفاده از این روش نشان داد که تنش و تغییر شکل درنوک یک ترک را می توان باعامل ثابتی ارتباط داد که رابطه مستقیم با نرخ رهایی انرژی دارد. این عامل بعداً به ضریب شدت تنش  شناخته شد. در همین سالها ویلیامز روش دیگری را برای تحلیل تنش و تغییر مکان در نوک ترک ارائه نمود که اساساً با روش ایروین یکسان بود. 

پس از جنگ جهانی دوم ، نقطه عطف دستاوردهای تحقیقاتی در زمینه مکانیک شکست حوالی سالهای ۱۹۶۰ می باشد که بنیادهای مکانیک شکست الاستیک خطی بخوبی شناخته شده بود. پس از غالب تحقیقات معطوف به بررسی پلاستیسیته نوک ترک بود. هنگامی که تغییر شکل پلاستیک قابل توجهی در جسم بوجود آید فرضیات مکانیک شکست الاستیسیته خطی  (LEFM) معتبر نخواهد بود. در فاصله کوتاهی طی سالهای ۶۱-۱۹۶۰، محققان متعددی در صدد ترمیم روشهای تحلیل پلاستیک تنش در اطراف نوک ترک شدند. ایروین با استفاده از LEFM مدل « تصحیح منطقه پلاستیک» را ارائه نمود و داگدیل  و باربنلات  هر یک مبادرت به توسعه مدل‌های واقعی تری براساس نوار باریکی از ماده تسلیم شده در نوک ترک نمودند. ولز  معیار شکست دیگری بر مبنای تغییر مکان در نوک ترک  (CTOD) در ماده ای با تغییر شکل پلاستیک زیاد در هنگام شکست را پیشنهاد داد. در سال ۱۹۶۸ رایس  با فرض رفتار الاستیک غیرخطی برای ماده ای با تغییر شکل پلاستیک موفق شد مفهوم نرخ رهایی انرژی را برای مواد با رفتار غیرخطی تعمیم دهد. او نشان داد که نرخ رهایی انرژی غیرخطی را می‌توان بر مبنای انتگرال خطی J در یک مسیر اختیاری در اطراف ترک محاسبه نمود در همان سال‌ها هاتچینسن ، رایس و رزنگرن  موفق شدند انتگرال J را به میدان تنش در نوک ترک برای یک ماده با رفتار غیرخطی ارتباط دهند. تحلیل های فوق خاطر نشان ساخت که J می تواند بعنوان یک عامل شدت تنش غیرخطی و همچنین بعنوان نرخ رهایی انرژی در نظر گرفته شود. 

در سال ۱۹۷۶، شیه  و هاتچینسن موفق به ارائه چهارچوب تئوریک برای کاربرد مفهوم مکانیک شکست در طراحی شدند که بر مبنای آن رابطه ریاضی بین چقرمگی، تنش و ابعاد ترک بر مبنای J مشخص می‌شد. شیه همچنین با برقراری بین J و تغییر مکان نوک ترک CTOD نشان داد که هر یک از دو مشخصه فوق می تواند معیاری را برای شکست اجسام در نظر گرفته شوند. توسعه مکانیک شکست اجسام در سالهای ۱۹۸۰ به بعد بیشتر متوجه رفتار شکست مدار غیرخطی و وابسته به زمان نظیر ویسکوالاستیک وویسکوپلاستیسیته گردید. 

۳-۱- طراحی با روش مکانیک شکست 

در روش طراحی سنتی سازه‌ها و ماشین های صنعتی، محاسبات تنش در اجزاء براساس مقاومت حد جاری و یا نهایی اجسام در کشش یا فشار انجام می‌گیرد. کاربرد این روش برای مواد شکننده یا اعمال ضریب اطمینانی مناسب و در نظر گرفتن کمترین تغییر شکل مجاز میسر می‌باشد. در روش طراحی با استفاده از مکانیک شکست، سه عامل تنش اعمال شده ، ابعاد ترک ( هر چند کوچک) و چقرمگی از معیارهای طراحی بشمار می‌آیند. 

در تحلیل شکست از دو روش می توان استفاده کرده معیار انرژی و یا روش ارزیابی شدت تنش. 

۱-۳-۱- معیار انرژی : 

مطابق روش انرژی، گسترش ترک (شکست) هنگامی اتفاق می افتد که انرژی لازم برای رشد ترک وغلبه بر مقاومت ماده فراهم شده باشد. مقاومت ماده ممکن است شامل انرژی سطحی، کار پلاستیک و یا سایر تلفات انرژی در هنگام رشد ترک باشد. 

گریفیث نخستین کسی بود که معیار انرژی را برای شکست اجسام شکننده مانند شیشه به کار برد. درحالیکه پایه گذار مفهوم انرژی شکست که در حال حاضر در مکانیک شکست بکار می رود را می توان ایروین [۶] دانست. نرخ رهایی انرژی، G، عبارتست از نرخ تغییر در انرژی پتانسیل نسبت به سطح ترک برای یک ماده با رفتار الاستیک خطی است. هنگامی که انی انرژی معادل نرخ رهایی انرژی بحرانی.   ، درجسم می‌شود، شکست اتفاق می افتد که انرژی فوق شاخصی برای چقرمگی مواد است. 

برای ترکی بطول a۲ در یک ورق با ابعاد بی نهایت که تحت تنش کششی قرار دارد نرخ رهایی انرژی بر واحد سطح عبارتست از : 

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

نرخ رهایی انرژی ، G ، عامل محرک برای شکست را فراهم می کند و در صورتی که Gc عبارت از مقاومت ماده در مقابل شکست است. برای این که مفهوم ذکر شده با تحلیل تنش در روش «مقاومت مصالح» مقایسه شود، تنش اعمال شده بر یک جسم، عامل محرک برای تغییر طول پلاستیک بوده در حالیکه تنش تسلیم، مقاومت ماده در مقابل جاری شدن است. 

یکی از مفاهیم اساسی در مکانیک شکست این است که چقرمگی شکست مستقل از اندازه و ابعاد هندسی جسم دارای ترک می باشد. بنابراین می توان مقاومت ماده در مقابل شکست را مانند تنش تسلیم با انجام آزمایش بدست آورد. 

۲-۳-۱- روش ضریب شدت تنش 

در وضعیت تنش های صفحه ای در المانی واقع در نزدیکی نوک ترک از یک ماده الاستیک، اجزا تنش هر یک متناسب با مقدار ثابت K۱ می باشد. این عامل که «ضریب شدت تنش» نامیده می شود بطور کامل وضعیت تنش را در یک ماده الاستیک مشخص می کند (‌مفهوم اندیس I درK۱ در فصل دوم روشن خواهد شد). 

در حال بحرانی وضعیت تنش و کرنش در نوک ترک که منجر به شکست جسم می‌شود، ضریب شدت تنش به حالت بحرانی K۱c می‌رسد. بنابراین K۱c نیز عامل دیگری برای اندازه گیری چقرمگی شکست در اجسام می باشد. ضریب شدت تنش صورت زیر می باشد: 

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

هنگامی که  K۱=K۱cمی‌شود، شکست اتفاق می افتد. در این حالت، K۱ عامل محرک برای شکست و K۱c مقاومت ماده در مقابل شکست است. همچنین فرض بر آنست که K۱c یک خاصیت ماده مستقل از ابعاد هندسی جسم است. با مقایسه معادلات (۱-۱) و(۳-۱) رابطه K۱ عامل محرک برای شکست و K۱c مقاومت ماده در مقابل شکست است. همچنین فرض بر آنست که K۱c یک خاصیت ماده مستقل از ابعاد هندسی جسم است. با مقایسه معادلات  (۱-۱) و (۳-۱)‌ رابطه K۱ و G بصورت زیر می‌گردد: 

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

رابطه مشابهی نیز برای G۱c و K۱c برقرار می باشد. بنابراین روش های انرژی و شدت تنش در مکانیک شکست برای مواد الاستیک خطی اساساً یکسان هستند. 

۳-۳-۱- تلرانس خرابی 

در اجزاء ماشین و یا سازها معمولاً ترکهای ریزی در هنگام ساخت و یا حمل و نقل بوجود می‌آید که عملا اجتناب ناپذیر بوده و یا ترمیم آنها مستلزم صرف هزینه‌ای سنگین می‌باشد. در مکانیک شکست، مبنایی برای محدودیت رشد این ترکها تعریف می گردد که تلرانس خرابی  نام دارد. فرض کنید ترکی در یک سازه در اثر خستگی و یا خوردگی با گذشت زمان در حال رشد باشد. اگر چقرمگی شکست ماده معلوم باشد، روابط موجود در مکانیک شکست می‌توان در طول ترک بحرانی برای گسیختگی سازه را پیش بینی نماید. معمولا طول مجاز ترک با تقسیم طول بحرانی ترک بر ضریب اطمینان مناسبی تعریف می شود. 

به این ترتیب سازه و یا اجزاء ماشین مجاز به ادامه کار خواهد بود، تا این که ابعاد ترک به اندازه بحرانی برسد. مثالهایی از رشد ترک وابسته به زمان را می‌توان دربارهای ناشی از خستگی، تأثیرات محیط، خزش و رشد ترک ویسکوالاستیک مشاهده کرد. 

۱-۲- مقدمه: 

مفاهیم مکانیک شکست که قبل از سال ۱۹۶۰ بدست آمده بود فقط برای موادی که قانون هوک پیروی می کنند صادق بود. گر چه برخی تصحیحات در روابط مکانیک شکست برای پلاستیسیته در مقیاس کوچک  انجام پذیرفته بود ولی تحلیلهای فوق صرفاً برای سازه‌هایی با رفتار الاستیک خطی معتبر بود. از سال ۱۹۶۰ تئوریهای مکانیک شکست برای رفتارهای مختلف غیرخطی مواد مانند پلاستیسیته، ویسکوالاستیسیته و ویسکوپلاستیسیته گسترش یافت. بنابراین درک مفاهیم اساسی مکانیک شکست الاستیک خطی برای دریافت مفاهیم پیشرفته تر در این زمینه ضروری است که در این فصل مورد بررسی قرار خواهد گرفت. این بحث با بررسی مختصری از شکست در مقایس اتمی آغاز می شود. 

۲-۲- شکست در مقیاس اتمی 

یک ماده هنگامی شکست می خورد که تنش و کار کافی برای غلبه بر پیوندهای بین اتمی آن فراهم شده باشد. شرایط تعادل هنگامی برقرار می شود که انرژی پتانسیل کمترین مقدار خود را داشته باشد. برای افزایش فاصله اتمی از حالت تعادل، نیروی کششی لازم بایستی بتواند بر نیروی چسبندگی بین اتمها غلبه نماید. انرژی اتصال عبارتست از : 

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

که در آن x۰ فاصله اتمی در حالت تعادل و P نیروی اعمال شده است. 

مقاومت چسبندگی در سطح اتمی را می‌توان با ایده آل فرض کردن رابطه نیرو- تغییر مکان بصورت یک نیم موج سینوسی پیش بینی نمود: 

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

برای سهولت، مبدأ در x۰ در نظر گرفته شده است . برای تغییر مکانهای کوچک، رابطه نیرو – تغییر مکان بصورت خطی می‌باشد: 

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

۳-۲- اثر تمرکز تنش ترک 

روابط بدست آمده در بخش (۱-۲) نشان می دهند که مقاومت چسبندگی مواد از نظر تئوریک تقریبا معادل  E/۳.۱۴است، با این حال مقاومت شکست مواد حاصل از آزمایش معمولاً سه تا چهار مرتبه کمتر از مقدار فوق می‌باشد. آزمایشات انجام شده توسط لئوناردو داوینچی و گریفیث و دیگران نشان می‌دهند که اختلاف بین مقاومت واقعی مواد شکننده و پیش بینی های تئوریک بعلت وجود ترکهای بسیار ریز در این گونه مواد است. شکست اتفاق نخواهد افتاد مگر این که تنش در حد اتمی از مقاومت چسبندگی مواد تجاوز کند. بنابراین ترکهای ریز با افزایش تنش‌های محلی باعث کاهش مقاومت کلی ماده می‌شوند. 

اولین تلاش برای نشان دادن اثر تمرکز تنش ترکهای ریز بوسیله اینگلیس [۱] انجام شد که طی آن سوراخهای بیضوی بطول a۲ و عرض b۲ در ورقهای تخت تحت تنش‌های عمود بر محور اصلی بیضی مورد تحلیل قرار گرفت.

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

این نتیجه در ابتدا بحث انگیز گردید زیرا هیچ ماده ای توان تحمل تنش بی نهایت را ندارد. باین ترتیب از نظر تئوری یک ماده دارای ترک نیز بایستی تحت نیروی خیلی کمی شکست بخورد. این مسئله باعث شد که گریفیث [۲] تئوری شکست اجسام را بجای تنش، بر مبنای انرژی گسترش دهد. یک ترک بینهایت تیز در ماده ای پیوسته یک فرض ریاضی است و تطابقی با مواد واقعی که از اتمها تشکیل شده اند ندارد. بعنوان مثال فلزات تغییر شکل پلاستیک می‌دهند که باعث منحنی شدن نوک یک ترک نیز می‌گردد.

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

معادله (۱۳-۲) تقریبی از تنش شکست را می‌دهد زیرا فرض پیوستگی ماده در تحلیل اینگلیس برقرار است که در سطح اتمی معتبر نمی‌باشد. 

۴-۲ موازنه انرژی گریفیث 

برطبق قانون اول دترمودینامیک، هنگامی که سیستمی از حالت عدم تعادل به حالت تعادل می‌رود، مقدار خالصی از انرژی آن کاسته خواهد شد. در سال ۱۹۲۰، گریفیث از این اصل برای شرایط تشکیل یک ترک استفاده کرد: 

« می توان این گونه فرض کرد که یک ترک با از بین رفتن نیروی کششی در سطوح آن رشد می‌کند. باین ترتیب در هنگام رشد ترک انرژی کل کم شده و یا ثابت می ماند. بنابراین شرایط بحرانی شکست هنگامی خواهد بود که رشد ترک در شرایط تعادل، بدون هیچ گونه تغییر خالص در انرژی کل صورت گیرد.» 

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

تعادل انرژی گریفیث برای یک افزایش جزئی در سطح ترک dA، در شرایط تعادل را می توان بصورت زیر بیان کرد: 

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

که در آن Et انرژی کل، II انرژی پتانسیل بدست آمده اند از انرژی کرنشی داخلی و نیروی خارجی و Ws کار لازم برای ایجاد سطوح جدید است. برای ورق دارای ترک، گریفیث از تحلیل تنش اینگلیس استفاده کرده و نشان داد: 

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

که در آن II۰ انرژی پتانسیل یک ورق بدون ترک و B ضخامت ورق می‌باشد. از آنجا که تشکیل یک ترک مستلزم ایجاد دو سطح می‌باشد، Ws بصورت زیر بدست می‌آید: 

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

۱-۴-۲- ترمیم معادله گریفیث 

معادله (۱۹-۲)‌ تنها برای مواد شکننده معتبر است. گریفیث توافق خوبی بین معادله (۱۹-۲) و مقاومت شکست شیشه از طریق تجربی بدست آورد ولی معادله او بخوبی نمی توانست مقاومت شکست فلزات را پیش بینی کند. ایروین [۳] و اوروان [۴] مستقلاً هر یک به ترمیم معادله گریفیث پرداختند تا بتوانند جریان پلاستیک در فلزات را نیز درمعادله (۱۹-۲) منظور نمایند. معادله ترمیم یافته بصورت زیر است: 

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

هنگامی که ترک درون فلزات رشد می‌کند، حرکت نابجایی ها در نزدیکی ترک به جذب انرژی نیز کمک می‌کند. گر چه ایروین و اوروان در ابتدا معادله (۲۰-۲) را برای فلزات بدست آوردند، با اینحال مدل گریفیث را می توان برای هر نوع صرف انرژی تعمیم داد. 

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

که در آن Wf انرژی شکست است و شامل اثرات پلاستیک و ویکسو الاستیک و ویسکو پلاستیک برای مواد مختلف می باشد. انرژی شکست همچنین می‌تواند متأثر از دو شاخه شدن ترک باشد که منجر به افزایش سطوح ترک می‌گردد. 

تذکر نکته ای که در مورد استفاده از رابطه (۲۱-۲) برای مواد با تغییر شکل غیرخطی ضروری بنظر می رسد آنست که مدل گریفیث در حالت خاص معادله (۱۶-۲) فقط برای مواد با رفتار الاستیک خطی معتبر است با این فرض هر گونه رفتار غیرخطی نظیر پلاستیسیته مواد بایستی منحصر به محدوده کوچکی از اطراف ترک گردد. بعلاوه، رابطه (۲۱-۲) فرض می‌کند Wf ثابت است در صورتی که در بسیاری از مواد نرم، انرژی شکست با ازدیاد طول ترک افزایش می‌یابد. 

۱-۳- مقدمه 

یک جسم دارای ترک می‌تواند در سه شیوه  مختلف تنش قرار گیرد. تنش‌های عمودی (نرمال) باعث باز شدن دهانه ترک با شیوه I- می‌گردند و تغییر مکان سطوح ترک عمود بر صفحه ترک است. تنش‌های برشی که در امتداد صفحه ترک اعمال می‌گردند باعث گسترش ترک در شیوه II- و یا مد لغزشی می‌گردند که تغییر مکان سطوح ترک در صفحه ترک بوده و عمود بر لبه خارجی ترک می باشد. شیوه III- یا مد پارگی ، در اثر اعمال تنش های برشی خارج از صفحه بوجود می‌آید. تغییر مکان سطوح ترک در صفحه ترک بوده ولی عمود بر لبه‌های کناری آن می‌باشد. جسم دارای ترک ممکن است در حالت کلی تحت ترکیبی از شیوه های فوق قرار گیرد، ولی معمولاً شیوه I- از اهمیت بیشتری برخوردار است. 

مبانی ریاضی مکانیک شکست الاستیک خطی در پیوست (الف) آمده است. در اینجا مروری بر روشهای حل الاستیک مسائل دارای ترک ارائه می‌شود. 

۲-۳- تابع تنش 

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

۳-۳ تابع تنش مختلط 

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

برای حل مسائل ترک، شکلهای مختلفی از تابع تنش را  می توان استفاده نمود. [۹-۲]. برای شیوه‌I- معمولا تابع پیشنهاد شده توسط وسترگارد  [۳] مورد استفاده قرار می‌گیرد. اگر چه مطالعات متعددی نشان داده اند که تابع پیشنهادی فوق کاملا صحیح نیست ولی مادامی که حالت تکینه  تنش در نوک ترک برقرار است، تأثیری در نتایج تحلیل تنش نخواهد داشت، تابع وسترگارد عبارتست از: 

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

هر گونه تابع آنالیتیک منجر به مشخص شدن تنش ها در معادله (۱۲-۳) خواهد شد. مرحله بعد بدست آوردن تابع Z(z) است که شرایط مرزی مورد نظر را برآورد نماید. 

۴-۳- تحلیل مسائل ترک 

ورقی دارای ترک با ابعاد نامحدود تحت تنش دو محوری که در شیوه I- بارگذاری قرارداد در نظر گرفته می شود. تابع تنش برای این حالت عبارتست از: 

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

معادلات (۱۴-۳) حل دقیق میدان تنش در منطقه r~۰ هستند. این معادلات برای منطقه ای از اطراف ترک که r در مقایسه با طور ترک کوچک باشد قابل استفاده باشند. 

در تحلیل کلی، مرتبه های بالاتر f(z) را نیز می توان منظور نمود. حل کلی بصورت زیر است: 

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

۵-۳- اثر ابعاد حدود 

برای تحلیل ترک در ورقهای با ابعاد محدود ، بدلیل پیچیدگی مسئله در شرایط مرزی خاص، تاکنون روش مشخصی ارائه نگردیده است. یک حل تقریبی برای نواری با عرض محدود و تحت کشش که دارای ترک درلبه می باشد می توان بدست آورد. 

ابتدا ورقی با ابعاد نامحدود را در نظر بگییرد که در آن تعداد نامحدودی ترک در فواصل یکسان قرار دارند. حل این مسئله توسط وسترگارد [۳]، ایروین [۱۰] و کوئیتر[۱۱] ارائه شده وعبارتست از : 

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

اگر ورق در امتداد خطوط AB و CD بریده شود، نواری با عرض محدود W بدست می آید که دارای ترک مرکزی بطول۲a است. حل معادله (۲۸-۳) برای این نوار تقریبا معتبر بنظر می رسد. برای چنین حالتی، نواری بعرض W دارای تنش های عمودی در امتداد لبه های ABو CD خواهد بود ( توجه گردد بدلیل تقارن، تنش برشی صفر است).

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

۱-۴- ترمیم منطقه پلاستیک بروش ایروین 

چنانچه در بخش ۳ بحث شد، در نوک ترک یک جسم الاستیک، حالت تکینه تنش وجود دارد. معمولاً برخی مواد ( نظیر فلزات) دارای تنش حد جاری هستند که تحت تنش بالاتر از آن، رفتار پلاستیک نشان می دهند.باین ترتیب همواره در این گونه مواد در اطراف نوک ترک منطقه ای وجود دارد که در آن تغییر شکل پلاستیک اتفاق می افتد و حالت تکینه تنش نمی تواند وجود واقعی داشته باشد. این ناحیه منطقه پلاستیک نوک ترک شناخته می شود. تخمین اندازه این منطقه درحالتهای تنش صفحه ای و یا کرنش صفحه ای براحتی امکان پذیر است. برای اینکار ابتدا تنش صفحه ای بررسی می شود.

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

این تحلیل ساده که بر مبنای حل الاستیک در نوک ترک از بین رفته است. این تحلیل ساده که بر مبنای حل الاستیک در نوک ترک بدست آمده را نمی‌توان بطور کامل پذیرفت زیرا هنگامی که ماده در این منطقه جاری شود، توزیع مجدد تنش بایستی حالت تعادل را برآورده نماید. نیرویی که در یک ماده الاستیک وجود دارد نمی تواند در یک ماده الاستیک- پلاستیک تحمل شود، زیرا تنش از حد جاری تجاوز نمی کند. 

بنابراین برای برقراری تعادل حاصل از نیروی فوق، اندازه منطقه پلاستیک بایستی بزرگتر شود. با برقراری تعادل نیرو در این منطقه، شعاع منطقه پلاستیک واقعی را می توان پیش بینی نمود. 

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

ایروین[۱] با تعریف «طول ترک موثر» خاطر نشان نمود که افزایش K باعث ازدیاد طول ترک کمی بیشتر از مقدار واقعی آن خواهد شد. بنابراین با قرار دادن نوک ترک موثر در مرکز منطقه پلاستیک می توان K مؤثر را بدست آورد. باین ترتیب طول ترک مؤثر را می توان مجموع طول واقعی و شعات منطقه پلاستیک تعریف نمود. 

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید.)

۲-۴- ترمیم منطقه پلاستیک بروش داگدیل 

روش دیگری برای بدست آوردن منطقه پلاستیک بر مبنای مدل نوار تسلیم شده توسط داگدیل و بارنیلات [۲و۳] ارائه گردید. در این مدل نیز طول مؤثر ترک بلندتر از طول فیزیکی آن در نظر گرفته می شود به این ترتیب طول مؤثر ترک در ورقی بابعاد نامحدود و دارای ترک اولیه بطول ۲a و معادل ۲a+۲p در نظر گرفته می شود .

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

این مدل در واقع ترکیبی از دوحل الاستیک برای جسم دارای ترک و تحت کشش وا عمال تنش‌های بازگردانده   در ناحیه ترک بوده که با استفاده از اصل جمع جداگانه آثار بدست آمده است. از آنجا که تنش ها در نوار تسلیم شده محدود هستند، حالت تکینه در این منطقه برقرار نخواهد بود. 

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

۳-۴- شکل منطقه پلاستیک 

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

منطقه تسلیم ترسکا کمی بزرگتر و متفاوت تر از منطقه فون میسزاست. تحلیل مشابهی می توان برای شیوه های II و III نمود.

برای بدست آوردن منطقه پلاستیک خطای مشابهی که درمعادله (۱-۴) گردید تکرار شده است. با محدود کردن تنش تسلیم. مقداری از بار اضافی بایستی بوسیله مواد خارج از منطقه پلاستیک تحمل شود. تصحیح این خطا به آسانی مورد معادله ( ۱-۴) نیست و نیاز به تحلیلهای تنش دقیقتری از منطقه اطراف ترک دارد. 

محاسبات المانهای محدود با فرض رفتار پلاستیک ماده طبق رابطه تنش تک محوری زیر انجام گرفته است. 

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

۴-۴- کرنش صفحه ای در مقابل تنش صفحه ای 

در مناطق داخلی یک ورق همواره حالت کرنش صفحه ای و در مناطق نزدیک به سطوح خارجی حالت تنش صفحه ای برقرار می باشدو. در این صورت تنش های عمود بر سطح آزاد خارجی صفر بوده ، یعنی اگر حالت کرنش صفحه ای در مناطق داخلی ورق حاکم  باشد، در نتیجه اندازه منطقه پلاستیک از حالت تنش صفحه ای در داخل ورق اضافه می شود. در نتیجه اندازه منطقه پلاستیک از حالت تنش صفحه ای در سطح آزاد به حالت کرنش صفحه ای در مناطق داخلی کاهش می یابد.

حالت تنش در اندازه منطقه پلاستیک اثر می گذارد. از طرف دیگر اندازه منطقه پلاستیک در حالت تنش تأثیر می گذارد. تغییر مکانهای بزرگه در منطقه پلاستیک اتفاق می افتد نیاز به تامین مواد از مناطق دیگر دارد. وقتی منطقه پلاستیک در مقایسه با ضخامت ورق باندازه کافی بزرگ می شود، مناطق نزدیک به سطح آزاد به راحتی تسلیم می شوند.

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

در نتیجه در صورتی که تنش تسلیم ماده ای کم و چقرمگی آن زیاد باشد، برای بدست آوردن چقرمگی بحرانی KIC ، بایستی حالت کرنش صفحه ای در نمونه آزمایش ایجاد شود که در این صورت ضخامت نمونه باید به اندازه کافی بزرگ باشد.

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

صفحات فوق با زاویه ۴۵ درجه از صفحه z در صفحه  x-z واقع خواهد شد.

تغییر شکل پلاستیک در اثر تنش های برشی و از طریق مکانیزم لغزش صورت می پذیرد. بنابراین صفحات مختلف تنش برشی منجر به الگوهای مختلف تغییر شکل خواهد شد. لغزش در صفحاتی که از محور xها گذشته و زاویه ۴۵ درجه نسبت به سطح ورق دارد منجر به تغییر شکل از نوع ۴۵ درجه برشی معمول برای حالت تنش صفحه ای می گردد.

لغزش در صفحاتی که از محورها می گذرد منجربه تغییر شکل از نوع لولایی معمول برای حالت کرنش صفحه ای خواهد شد.

۵-۴- ضریب قید پلاستیک

منطقه پلاستیک در حالت کرنش صفحه ای به طور قابل ملاحظه ای کوچکتر از حالت تنش صفحه ای است. علت آن ناشی از این واقعیت است که تنش موثر تسلیم در حالت کرنش صفحه ای بزرگتر از تنش تسلیم تک محوری است. تنش ماکزیمم در منطقه پلاستیک حالت کرنش صفحه ای می تواند تا سه برابر تنش تسلیم تک محوری افزایش یابد. نسبت تنش ماکزیمم به تنش تسلیم، ضریب قید پلاستیک نامیده می شود:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

منطقه پلاستیک در صفحه y=۰ برای حالت تنش صفحه ای ۹ بار بزرگتر از حالت کرنش صفحه ای است.

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

مقادیر بدست آمده با آزمایش برای ضریب قید پلاستیک بین ۵/۱ تا ۲ می باشد که نشان دهنده کاربرد عملی معادله (۲۶-۴) است. یک روش برای تعیین ضریب قید پلاستیک بدون استفاده از آزمایش بکار بردن تغییر مکان دهانه ترک COD می باشد. با استفاده از معادله (۸-۴) وقتی x=۰ باشد، COD برابر است با:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

۶-۴- اثر ضخامت

در بخشهای قبلی بحث گردید که ضخامت ورق تاثیر بسزایی در حالت تنش در منطقه نوک ترک دارد. برای حفظ حالت کرنش صفحه ای در قسمت عمده ای از نوک ترک، ضخامت ورق بایستی به اندازه کافی بزرگ باشد.

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

در این صورت می توان ضریب شدت تنش بزرگتری قبل از رشد ترک را مورد استفاده قرار داد. ضریب شدت تنش بحرانی برای رشد ترک معمولا با KC نشان داده می شود ولی در اینجا KIC برای رشد ترک در شیوه I مورد استفاده قرار می گیرد. پس از ضخامت مشخصی (BS) حالت کرنش صفحه ای غلبه کرده و چقرمگی به مقدار چقرمگی حالت کرنش صفحه ای، KIC می رسد و مادامی که B>BS است چقرمگی مستقل از ضخامت خواهد شد. به این ترتیب یک ضخامت بهینه وجود دارد (BO) که در آن چقرمگی به مقدار ماکزیمم خود می رسد این مقدار معمولا اندازه واقعی چقرمگی در حالت تنش صفحه ای در نظر گرفته می شود. در ناحیه گذاری بین Bo و Bs مقدار متوسط چقرمگی در نظر گرفته می شود.

برای ضخامت کمتر از Bo ، روند واحدی وجود ندارد. برخی موارد Kc بصورت خط افقی و گاهی کاهش می یابد. تاکنون توضیح جامعی برای علت تغییر چقرمگی برحسب ضخامت ارائه نشده است.

در ابتدا بایستی توجه گردد که تنش در نوک ترک در حالت کرنش صفحه ای بیشتر از حالت تنش صفحه ای است. همچنین شکست در حالتی اتفاق می افتد که ترکیبی از تنش ها و کرنش های بسیاربزرگ در نوک ترک وجود داشته باشد. چهار ورق به ضخامتهای B۴ , B۳ , B۲ , B۱ را در نظر بگیرید که همگی دارای طول یکسان بوده و تحت تنش یکسان  قرار دارند و ضریب شدت تنش در تمام ورقها برابر باشد. بنابراین ارتفاع منطقه پلاستیک نیز در کلیه ورقها مساوی خواهد بود. در ورقهای B۴ , B۳ , B۲ ارتفاع منطقه پلاستیک از ضخامت ورق کمتر است.

این بدان معنا است که جاری شدن ورقها در جهت ضخامت براحتی صورت نگرفته و کرنش در این جهت صفر بوده و حالت کرنش صفحه ای برقرار می باشد. در ورق B۱ ارتفاع منطقه پلاستیک برابر ضخامت آن بوده و امکان جاری شدن در جهت ضخامت وجود دارد. بعبارت دیگر حالت تنش صفحه ای به طور کامل در ورق B۱ گسترش یافته است و با افزایش تنش، ارتفاع منطقه پلاستیک از بقیه ورقها بیشتر خواهد بود.

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

ولی بدلیل وجود نواحی تنش صفحه ای در مناطق نزدیک به سطوح آزاد (با تنش کمتر در نوک ترک) ورق B۳ هنوز شکست نمی خورد. ورق B۲ هم در موقعیتی مشابه قرار دارد ولی این ورق دارای ارتفاع منطقه پلاستیک مساوی ضخامت ورق می باشد و بدان معناست که حالت تنش صفحه ای در حال گسترش در جهت ضخامت ورق می باشد.

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

ورقهای ضخیم تر از B۴ رفتاری مشابه B۴ داشته به طوری که حالت کرنش صفحه ای در شکست برقرار است و KIC معتبر را می توان در آنها بدست آورد. بهمین ترتیب ورقهای نازکتر از B۱ در تنش کمتری شکست می خورند زیرا کرنش در آنها بزرگتر خواهد بود.

۱-۵- نرخ رهایی انرژی

معیار انرژی گریفیث برای شکست اجسام دلالت بر این دارد که : رشد ترک هنگامی اتفاع می افتد که انرژی لازم برای ایجاد افزایش طول ترک به اندازه da توسط سیستم فراهم شود.

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

۲-۵- معیار رشد ترک

ترک هنگامی گسترش می یابد که G معادل انرژی لازم برای رشد ترک باشد. برای یک ماده شکننده مانند شیشه، انرژی لازم برای رشد ترک معادل انرژی سطحی برای تشکیل سطوح جدید آزاد خواهد بود، یعنی:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

ایروین [۱] و اوروان [۲] خاطر نشان ساختند که انرژی موردنیاز برای رشد ترک در فلزات بسیار بیشتر از انرژی سطحی لازم برای ایجاد سطوح جدید می‎باشد. در فلزات، منطقه پلاستیک در نوک ترک تشکیل می‎شود و رشد ترک نیز همراه با تشکیل منطقه پلاستیک جدید در نوک ترک خواهد بود.

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

در قسمت (۱-۵) ذکر شد که برای گسترش ترک تحت بار ثابت و یا تغییر مکان ثابت، G یکسان است. این حالت فقط برای شروع گسترش ترک معتبر است. اگر ترک تحت تنش ثابت گسترش یابد، G به صورت خطی افزایش می یابد.

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

۳-۵- مقاومت ترک (منحنی R)

تاکنون R مستقل از طول ترک درنظر گرفته شد. این فرض برای ترک تحت حالت کرنش صفحه ای تقریبا درست است. آزمایشات نشان می دهند که در حالت تنش صفحه ای مقاومت ترک با رشد ترک ممکن است تغییر کند. ورق نازکی که در آن حالت تنش صفحه ای برقرار است را در نظر بگیرید.

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

در آستانه گسترش ترک بایستی معیار انرژی برآورده شود. مادامیکه رشد ترک به صورت پایدار صورت می گیرد، نرخ رهایی انرژی دقیقاً معادل مقاومت ترک است (در صورتی که کمتر باشد، رشد ترک متوقف می‎شود و اگر بیشتر باشد شکست ناپایدار اتفاق می افتد).

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

اگر ترک تحت تنش ثابت رشد کند، G مطابق خط B-H افزایش خواهد یافت. چون این خط از R کمتر است، رشد ترک تحت تنش ثابت ادامه نخواهد یافت.

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

معادله (۱۹-۵) برای حالت تنش صفحه ای برقرار است. در صورتی که رابطه آنالیتیک برای منحنی R وجود داشته باشد، معیار شکست معادله (۱۹-۵) قابل حل خواهد بود.

برخی مطالعات نشان می‎دهد که منحنی R بستگی به طول اولیه ترک نداشته و همواره ثابت می‎باشد. به این ترتیب شرط شکست برای ترکهایی با طول های متفاوت می‎باشد که در آن برای طولهای مختلف ترک خطوط مماس بر منحنی R رسم شده اند.

منحنی R نشان دهنده انرژی لازم برای رشد ترک است. در یک ماده نرم انرژی مقاومت ترک، R معادل کار لازم باری تشکیل منطقه پلاستیک تازه در نوک ترک بعلاوه کار لازم برای شروع، رشد و تجمع حفره های ریز اطراف ترک می‎باشد. بنابراین منحنی R بایستی از صفر شروع شود. در تنش صفر، اندازه منطقه پلاستیک نیز صفر است، بعبارت دیگر در هر تنش بجز صفر، معیار انرژی برآورد می گردد و منطقه پلاستیک، هر چند کوچک تشکیل خواهد شد (بجز کار لازم برای تشکیل حفره های ریز اطراف ترک).

با وجود این ترک رشد نمی کند، زیرا تنش ها و کرنش های پلاستیک در نوک ترک کافی نیستند. معیار انرژی یک شرط لازم برای رشد ترک است ولی شرط کافی نیست.

برای این که مواد موجود در نوک ترک جدا شوند، ابتدا بایستی تنش ها و کرنش ها باندازه کافی بزرگ باشند تا بتوانند حفره ها را رشد داده و به هم بپیوندند. این حالت هنگامی فراهم می‎شود که منطقه پلاستیک بزرگی در نوک ترک بوجود آید. به این ترتیب هنگامی که کلیه شرایط برای رشد ترک با طول های مختلف a۲ , a۱ در نقطه B فراهم شود، نتیجه خواهد شد:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

برخلاف حالت کرنش صفحه ای که در آن GIC و KIC در محدوده خاصی ثابت ماده شناخت می شوند، GIC و KIC بستگی به طول ترک داشته و برای ترکهای با طول بزرگتر، مقادیر بیشتری دارند. شکل منحنی R بستگی به ضخامت ورق دارد. برای ورقهای ضخیم تحت حالت کرنش صفحه ای، منحنی R خط افقی و مستقیم خواهد بود.

منحنی R در ورقهای نازک تحت حالت تنش صفحه ای دارای شیب تند می‎باشد. ورقهای با ضخامت متوسط دارای منحنی R با حالتی میانه از دو حالت فوق را دارند.

۴-۵- نرمی 

معادله (۵-۵) رابطه بین نرخ رهایی انرژی و نرمی را نشان می‎دهد. با استفاده از رابطه بین K , G برای حالت تنش صفحه ای نتیجه می‎شود:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

برای حالت کرنش صفحه ای ضریب (۱-v۲) به معادله (۲۱-۵) اضافه می‎شود. با استفاده از معادله (۲۱-۵) می‎توان مقدار K و یا G را برای یک نمونه به طریق محاسبه و یا آزمایش بدست آورد. باید توجه داشت که نرمی، «عکس سختی» بوده و می‎توان آنرا با استفاده از تغییر شکل محل بار بدست آورد:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

معادله (۲۲-۵) را می‎توان برای محاسبه مقدار K بروش المانهای محدود استفاده کرد. یک مثال کاربردی برای استفاده از معادله (۲۲-۵) جهت محاسبه K , G را می‎توان تیر دو سر طره (DCB) در نظر گرفت.

در صورتی که طول ترک از محل اعمال بار محاسبه شود، با استفاده از تئوری ساده خمش تیرها، تغییر شکل   در محل اعمال بارها عبارتست از:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

معادله (۲۶-۵) یک تقریب قابل قبول برای ضریب شدت تنش می‎باشد.

البته باید توجه داشت که در معادله (۲۶-۵) از اثر برش صرفنظر شده و دو انتهای تیر کاملاً صلب نیست و در عمل تکیه گاهها نیز دارای تغییر شکل الاستیک هستند. از معادله (۲۶-۵) نتیجه می‎شود که ضریب شدت تنش برای تیر دو سر طره مستقل از ابعاد ترک می‎باشد. اگر ضخامت نیز متناسب با طول ترک a افزایش یابد، بطوری که البته باید توجه داشت که در معادله (۲۶-۵) از اثر برش صرفنظر شده و دو انتهای تیر کاملاً صلب نیست و در عمل تکیه گاهها نیز دارای تغییر شکل الاستیک هستند. از معادله (۲۶-۵) نتیجه می‎شود که ضریب شدت تنش برای تیر دو سر طره مستقل از ابعاد ترک می‎باشد. اگر ضخامت نیز متناسب با طول ترک a افزایش یابد، بطوری که a/B ثابت باشد، K برای تمام طولهای مختلف a ثابت خواهد بود. ساخت نمونه ای با ضخامت متغیر معمول نیست زیرا گسترش ترک به تغییر ضخامت بسیار حساس می‎باشد. بنابراین نمونه ای بصورت تیر دو سر طره با عرض متغیر(TDCB) را می‎توان برای بدست آوردن K , G استفاده کرد. تیر TDCB را می‎توان برای مطالعه رشد ترک در K ثابت بکار برد. نمونه را تحت بار P۱ در امتداد OA قرار داده تا ضریب شدت تنش لازم (و یا نرخ رهایی انرژی) برای رشد ترک فراهم شود، ترک کمی رشد کرده و بار افت می نماید، برای شروع مجدد رشد ترک، نمونه بایستی تا رسیدن به بار P۱ بارگذاری شود، زیرا در بار P۱ همان مقدار K بدست خواهد آمد. به این ترتیب می‎توان با در نظر گرفتن شرایط هندسی نمونه TDCB، نرخ رهایی انرژی را بدست آورد.

هنگام استفاده از نمونه های DCB غالباً مشاهده می‎شود که ترک از مسیر مستقل به مسیر B منحرف می‎شود. برای جلوگیری از این کار می‎توان شیاری مستقیم در نمونه ایجاد کرد. ایجاد شیار محاسبه نرمی را پیچیده می نماید ولی می‎توان بروش زیر آنرا محاسبه نمود:

نمودار بار- تغییر مکان نمونه را می‎توان با استفاده از اندازه گیری بار و تغییر مکان دهانه ترک (COD) بدست آورد. اینکار برای نمونه های دیگری با طولهای ترک متفاوت بایستی انجام پذیرد.

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

با تعیین شیب خطوط حاصل، مشتق نرمی را می‎توان بدست آورد، و از آنجا که K , G مطابق معادله (۲۱-۵) محاسبه می گردند.

۱-۶- مقدمه:

مکانیک شکست در حالت الاستیک خطی (LEFM) تا زمانی معتبر است که رفتار غیرخطی مواد محدود به منطقه کوچکی در اطراف نوک ترک باشد. مشخص کردن رفتار بسیاری از مواد صرفا با در نظر گرفتن حالت LEFM امکان‌پذیر نبوده و جایگزین دیگری موردنیاز است. مکانیک شکست در حالت الاستیک- پلاستیک برای موادی به کار می رود که رفتار مستقل از زمان و غیرخطی (تغییر شکل دائمی) نشان دهند. در این بخش برای مشخص کردن شرایط نوک ترک در اینگونه مواد، دو عامل معرفی می گردد که هر یک را می‎توان بطور جداگانه بعنوان یک معیار شکست در نظر گرفت: تغییر مکان نوک ترک CTOD و انتگرال مداری J، مقادیر بحرانی CTOD و یا J می‎توانند میزان چقرمگی مواد را مستقل از ابعاد و با تقریب قابل قبولی مشخص کنند و برای محدوده وسیع پلاستیک نوک ترک نیز معتبر خواهند بود. گرچه محدودیتهایی در کاربرد J و CTOD وجود دارد، با اینحال از اعتبار بیشتری نسبت به حالت LEFM برخوردار هستند.

۲-۶- تغییر مکان نوک ترک CTOD

تلاشهای ولز در اندازه گیری KIC برای تعدادی از فولادهای ساختمانی خاطر نشان نمود که این مواد رفتار چقرمه تری نسبت به آنچه با حالت LEFM مشخص می‎شود نشان می دهند. نتایج آزمایشهای ولز بیان کننده این واقعیت بود که گرچه چقرمگی زیاد مورد دلخواه طراح و سازنده است ولی تئوریاهی موجود مکانیک شکست برای موجود زیادی از مواد قابل قبول نبود. ولز هنگام بررسی نمونه های شکست شده دریافت که سطوح ترک، قبل از شکست به سمت جلو پیشرفت کرده و ترک اولیه تیز بشکل ترک منحنی با تغییر شکل دائمی درآمده است. میزان انحنای نوک ترک متناسب با چقرمگی مواد افزایش می یافت. مشاهدات ولز باعث شد که میزان تغییر مکان نوک ترک، CTOD، بعنوان یک معیار چقرمگی در مواد در نظر گرفته شود.

ولز در مطالعات خود با استفاده از یک تحلیل تقریبی، CTOD را به ضریب شدت تنش در محدوده کوچک تسلیم شده نوک ترک ارتباطی داد. ترکی را که دارای منطقه کوچک پلاستیکی است در نظر بگیرید. ایروین نشان داد که پلاستیسیته نوک ترک باعث می‎شود که ترک کمی بلندتر از طول اولیه خود ظاهر شود.

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

بنابراین در محدوده کوچک تسلیم، بین CTOD و K I , G رابطه برقرار می گردد. ولز خاطرنشان نمود در مواردی که LEFM اعتبار ندارد، CTOD عامل مشخصه مناسبی برای حالت نوک ترک خواهد بود. صحت این فرضیه پس از گذشت چند سال که رابطه بین J , CTOD ارائه گردید قطعی شد (قسمت ۳-۶).

مدل نوار تسلیم مفهوم دیگری برای تحلیل CTOD ارائه می‎دهد. این مفهوم قبلا در قسمت (۲-۴) اشاره گردید و اندازه نوار ناحیه تسلیم به کمک تنش های محدود در نوک ترک تعریف شده بود. در این مدل CTOD را می‎توان به صورت تغییر مکان دهانه ترک در انتهای نوار ناحیه تسلیم تعریف نمود. برطبق این تعریف، CTOD در یک ترک عمیق واقع در ورقی بابعاد بی نهایت که تحت تنش کششی در ناحیه ای دورتر از ترک قرار گرفته را با معادله زیر می‎توان مشخص کرد [۳]:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

مدل تسلیم نواری برای حالت تنش صفحه ای و ماده غیر سخت شونده فرض شده است. رابطه واقعی بین G , KI , CTOD به حالت تنش و مقدار کار سختی مواد بستگی دارد. حالت عمومی تر رابطه فوق را می‎توان با معادله زیر تعریف نمود:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

که در آن m یک ثابت بی بعد و تقریبا معادل ۱ برای تنش صفحه ای و ۲ برای حالت کرنش صفحه ای است.

تعریف های دیگری نیز برای CTOD وجود دارد. دو تعریف معمول برمبنای تغییر مکان نوک ترک اولیه و محل تلاقی زاویه ۹۰ درجه بیان می‎شود.

تعریف اخیر توسط رایس پیشنهاد شده و معمولاً در اندازه گیری های CTOD بوسیله المانهای محدود مورد استفاده قرار می‎گیرد. تعاریف فوق برای حالتی که ترک منحنی می‎شود نتایج یکسان خواهد داشت.

در اغلب اندازه گیریهای آزمایشگاهی CTOD ، لبه نمونه های دارای ترک تحت بارگذاری خمش سه تکیه گاهی مورد استفاده قرار می‎گیرد. در این اندازه گیری ها از یک اندازه گیر پارویی شکل که در داخل ترک قرار می‎گیرد استفاده می‎شود. با باز شدن دهانه ترک، اندازه گیر پارویی چرخیده و پیام الکترونیکی به رسام x-y ارسال می گردد. این مدل از دقت کافی برخوردار نیست زیرا امکان قرار دادن اندازه گیر پارویی در موقعیت دقیق نوک ترک مشکل است.

امروزه تغییر مکان V در دهانه ترک با فرض این که دو نیمه ترک در نمونه صلب بوده و حول اتصال لولایی می چرخد، اندازه گیری می‎شود. با مراجعه به این شکل و با استفاده از تشابه مثلثها CTOD به صورت زیر تخمین زده می‎شود:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

که r۰ عامل چرخش و یک ثابت بدون بعد بین صفر تا یک است. با توجه به این که تغییر مکانهای اولیه الاستیک هستند، مدل لولایی از دقت کافی برخوردار نبوده و روش استانداردی برای اندازه گیری CTOD بر مبنای مدل لولایی تقویت شده ارائه گردیده است. در این روش، فرض لولا تنها در تغییر مکان پلاستیک در نظر گرفته می‎شود. شکل منحنی بار تغییر مکان شبیه منحنی تنش- کرنش است که در ابتدا خطی ولی به تدریج از حالت خطی منحرف شده و تغییر شکل دائمی می‎دهد. تغییر مکان الاستیک و پلاستیک در هر نقطه از منحنی، با رسم یک خط به موازات منحنی بارگذاری الاستیک مشخص می گردد. خط چین نشان دهنده مسیر باربری در نمونه بوده و فرض بر آنست که ترک در طی آزمایش رشد نمی کند. CTOD در نمونه فوق با معادله زیر تخمین زده می شد:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

زیرنویس های p , el به ترتیب نشان دهنده مولفه های الاستیک و پلاستیک هستند. ضریب شدت تنش الاستیک با قرار دادن ابعاد نمونه و مقدار بار در روابط مناسب از جدول (۱-۳) به دست می‎آید. عامل چرخشی پلاستیک، rop تقریبا معادل ۴۴/۰ برای مواد مختلف در نظر گرفته می‎شود. 

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

۳-۶- انتگرال مداری J

رایس با تعریف انتگرال مداری J بعنوان یک مشخصه شکست برای مواد با رفتار غیرخطی موفق شد روش مناسبی در گستره مکانیک شکست در محدوده ای فراتر از LEFM ارائه دهد. دو ماده رفتار یکسان در مرحله بارگذاری داشته ولی رفتار آنها در مرحله باربرداری متفاوت است. ماده الاستیک- پلاستیک در مرحله باربرداری، رفتار خطی با شیبی معادل با مدول الاستیسیته نشان می‎دهد در حالی که مسیر باربرداری در ماده با رفتار الاستیک غیرخطی در همان مسیر بارگذاری شده است.

گرچه رابطه بین تنش و کرنش برای تمام مواد الاستیک یکسان است ولی برای یک کرنش معلوم در ماده الاستیک- پلاستیک، مقادیر متفاوتی از تنش در مرحله باربرداری و یا بارگذاری دوره ای وجود خواهد داشت. بنابراین تحلیل مواد الاستیک بسیار آسانتر از موادی است که رفتار بازگشت ناپذیر پلاستیک از خود نشان می دهند.

مادامیکه تنش در مواد در حالت تک محوری افزایش می یابد، پاسخ مکانیکی دو ماده یکسان است. در حالت اعمال تنش سه محوری، لزوماً رفتار مواد الاستیک غیرخطی و الاستیک- پلاستیک یکسان نمی باشد ولی در بسیاری موارد، فرض رفتار تک محوری تنش مناسب خواهد بود.

به این ترتیب تحلیل بر مبنای فرض رفتار الاستیک غیرخطی برای مواد با رفتار الاستیک- پلاستیک در صورتی که باربرداری صورت نگیرد معتبر است. تئوری تغییر شکل در پلاستیسیته که در رابطه کرنش کلی مواد را با تنش ها بیان می‌کند با الاستیسیته غیرخطی معادل است. این مفهوم توسط رایس برای تحلیل مسئله ترک در یک ماده با رفتار غیرخطی بکار گرفته شده است. او نشان داد که نرخ رهایی انرژی غیرخطی J را می‎توان به یک انتگرال مستقل از مسیر ارتباط داد.

هاتچینسن، رایس و روزنگرن همچنین نشان دادند که J به تنهایی مشخص کننده تنش ها و کرنش های نوک ترک در مواد با رفتار غیرخطی است. به این ترتیب J می‎تواند هم بعنوان یک مشخصه انرژی و هم یک مشخصه شدت تنش مورد استفاده قرار گیرد.

۱-۳-۶- نرخ رهایی انرژی غیرخطی

رایس یک انتگرال مداری مستقل از مسیر برای تحلیل ترک ارائه نمود و طی آن نشان داد که J در جسمی دارای ترک و با رفتار الاستیک غیرخطی برابر نرخ رهایی انرژی است. در این بخش ابتدا نرخ رهایی انرژی بدلیل نزدیک بودن به مفهوم ارائه شده در بخش پنجم مورد بررسی قرار گرفته و انتگرال J  در قسمت (۲-۳-۶) معرفی خواهد شد.

با استفاده از معادله (۱-۵)، نرخ رهایی انرژی G ، برای مواد با رفتار خطی تعریف شد . همان تعریف برای مواد الاستیک غیرخطی و با قرار دادن J به جای G قابل استفاده است:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

که در آن U انرژی ذخیره شده در جسم و F  کار انجام شده توسط نیروهای خارجی است. ورقی دارای ترک را در نظر بگیرید که در آن منحنی بار- تغییر مکان غیرخطی باشد  اگر ضخامت ورق برابر واحد در نظر گرفته شود، A=a خواهد بود. برای حالت بار ثابت نتیجه می شود:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

با گرفتن انتگرال از معادله (۱۷-۶) نتایجی بدست می آید که طبق آن معادلات (۱۶-۶) و (۱۷-۶) برابر بوده و J برای حالت بار ثابت و تغییر مکان ثابت یکسان خواهد بود. بنابراین J بیان عمومی تری از نرخ رهایی انرژی می باشد. برای حالت خاصی از یک ماده الاستیک خطی، J=G و برای بارگذاری در شیوه I نتیجه می‌شود:      

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

تذکر یک نکته هنگام کاربرد J برای مواد الاستیک – پلاستیک ضروری است. معمولاً نرخ رهایی انرژی بصورت انرژی پتانسیل رها شده هنگام رشد ترک در یک ماده الاستیک تعریف می شود. با وجود این قسمت عمده ای از انرژی جذب شده توسط یک ماده الاستیک- پلاستیک در زمان رشد ترک و یا هنگام باربرداری در نمونه قابل بازگشت نیست. بنابراین مفهوم نرخ رهایی انرژی بیان دیگری را در برخواهد داشت. برخلاف تعریف انرژی رها شده از یک جسم در زمان رشد ترک، معادله (۱۵-۶) رابطه J با تفاضل انرژی جذب شده بوسیله نمونه در اطراف نوک ترک بیان می دارد.

۲-۳-۶- J بعنوان یک انتگرال مستقل از مسیر

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

که در آن w دانسیته انرژی کرنشی، Ti مولفه های بردار عمود بر سطح Ui مولفه های بردار تغییر مکان و dS تغییرات طول در امتداد طول   است.

دانسیته انرژی کرنشی عبارتست از:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

۳-۳-۶- J بعنوان یک ضریب شدت تنش

هاتچینسن، رایس و روزنگرن (HRR) بطور جداگانه نشان دادند که J می تواند مشخص کنند وضعیت نوک ترک برای یک ماده الاستیک غیرخطی باشد. هر یک از آنها رابطه بین کرنش پلاستیک و تنش را به صورت قانون نمایی فرض کردند. اگر کرنش الاستیک هم اضافه شود، برای تغییر شکل تکل محوری، روابط زیر بدست خواهد آمد:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

برای این که حالت استقلال از مسیر حفظ شود، تنش و کرنش بایستی به نسبت ۱/r در محدوده نزدیک نوک ترک تغییر کند. در فواصل خیلی نزدیک به نوک ترک که منطقه کاملا پلاستیک شده، کرنش های الاستیک در مقایسه با کرنش کلی کوچک بوده و رابطه تنش- کرنش به قانون ساده نمایی خلاصه می شود. شرایط دوگانه فوق منجر به تغییرات تنش و کرنش در محدوده جلو نوک ترک به صورت زیر خواهند شد:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

این عوامل به حالت تنش نیز بستگی دارند (یعنی حالت تنش صفحه ای و یا کرنش صفحه ای).

معادلات (a۲۴-۶) و (b۲۴-۶) به حالت تکینه HRR معروف هستند که پس از هاتچینسن، رایس و روزنگرن به این عنوان نامیده شدند. 

انتگرال J مشخص کننده دامنه حالت ایستایی HRR است. به همان ترتیب که ضریب شدت تنش، دامنه حالت استثنایی الاستیک خطی را معین می کند. به این ترتیب J کاملا شرایط داخل منطقه پلاستیک را مشخص می کند.

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

۴-۳-۶- منطقه کرنش بزرگ

حالت استثنایی LEFM , HRR از ضعف مشترکی در تعیین حالت تنش در نوک ترک برخوردار هستند، یعنی وقتی r->۰ هر دو تنش بی نهایت را پیش بینی می‌کنند. کرنش های بزرگ در نوک ترک منجر به منحنی شدن آن شده و حالت سه محوری تنش را کاهش می دهند. تحلیلی که منجر به حالت استثنایی HRR می گردد تأثیر منحنی شدن نوک ترک در میدان تنش را در نظر نمی گیرد، همچنین تحلیل فوق دربرگیرنده کرنش های بزرگ موجود در نوک ترک نیست. این تحلیل بر مبنای تئوری کرنش کوچک صورت گرفته که معادل حالت چند محوری کرنش مهندسی دریک آزمایش کشش است. هنگامی که کرنش ها بزرگتر از تقریبا ۱/۰ (۱۰%) هستند، تئوری کرنش کوچک از اعتبار برخوردار نیست.

مک میکینگ و پارکس تحلیل نوک ترک را با استفاده از المانهای محدود با در نظر گرفتن تئوری کرنش بزرگ و تغییرات هندسی محدود انجام دادند. در این شکل حالت تکینه HRR (معادله a ۲۴-۶) نیز نشان داده شده است. توجه گردد که هر دو محور مختصات بدون بعد هستند و تا زمانی که منطقه پلاستیک کوچک است شکل منحنی ها ثابت خواهد ماند.

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

منحنی شدن نوک ترک باعث می‎شود که در اطراف نوک ترک وضعیت تنش با حالت HRR تفاوت پیدا کند. حالت تکینه HRR در این محدوده که در آن تنش ها از کرنش های بزرگ و منحنی شدن نوک ترک متاثر می شوند، غیرمعتبر خواهد بود.

عدم اعتبار تحلیل HRR در محدوده نوک ترک منجر به مطرح شدن این سوال گردیده است که: آیا انتگرال J می‎تواند بعنوان یک معیار شکست مفید برای مواقعی که نوک ترک منحنی می‎شود بکار رود؟ پاسخ آن را می‎توان به این صورت بیان کرد، مادامی که محدوده محاصره شده در اطراف نوک ترک را بتوان با معادله (۲۴-۶) تعریف کرد، انتگرال J به تنهایی مشخص کننده شرایط نوک ترک بوده و مقدار بحرانی J مستقل از ابعاد، چقرمگی شکست را اندازه می‎گیرد.

۵-۳-۶- اندازه گیری J با آزمایش:

هنگامی که رفتار ماده ای الاستیک خطی باشد، اندازه گیری J در یک نمونه نسبتاً ساده است زیرا J=G و G نیز با ضریب شدت تنش رابطه دارد. این مقدار با مشخص شدن بار و اندازه ترک بر مبنای حل K برای شرایط هندسی معلوم قابل محاسبه است. محاسبه انتگرال J برای مواد با رفتار غیرخطی بسیار مشکل است.

اصل جمع بندی جداگانه آثار قابل استفاده نبوده و متناسب با بار اعمال شده نیست. بناراین یک رابطه ساده بین J ، بار و طول ترک قابل دسترس نخواهد بود. روش معمول برای تعیین J بر مبنای کاربرد انتگرال مداری (معادله ۱۹-۶) برای شرایط هندسی مشخص انجام می پذیرد. رد [۸] مقدار انتگرال J را برای یک سری نمونه با نصب چند اندازه گیر در مدار پیرامون نوک ترک بدست آورد. از آنجا که J مستقل از مسیر بوده و انتخاب مسیر اختیاری است، او مداری را انتخاب کرد که محاسبه را تا حد امکان آسانتر سازد. این روش برای تحلیل با المانهای محدود نیز قابل استفاده است، به این ترتیب که تنش ها، کرنش ها و تغییر مکانها در مدار مشخصی از اطراف نوک تیر تعیین شده و J مطابق معادله (۱۹-۶) قابل محاسبه خواهد بود. روش مداری در تعیین J در بسیاری از مواقع غیرعملی می‎باشد. نصب تجهیزات اندازه گیری در اطراف ترک پرزحمت بوده و روش مداری در برخی محاسبات عددی مورد توجه نیست.

لندس و بگلی [۹ و ۱۰] از نخستین کسانی بودند که با استفاده از تعریف نرخ رهایی انرژی از (معادله ۱۱-۶) موفق به اندازه گیری آزمایشگاهی J شدند. آنها نمونه های متعدد آزمایشی با ابعاد هندسی و مواد یکسان ولی ترکهایی با طولهای متفاوت را ساختند. هریک از نمونه ها را تحت بار قررا داده و نمودار بار تغییر مکان آنها را بدست آوردند. مساحت زیر منحنی هر یک برابر U ، یعنی انرژی جذب شده توسط هر نمونه می‎باشد. سپس تغییرات در مقابل طول ترک در حالت تغییر مکان ثابت را رسم کردند. برای یک نمونه با ترک لبه ای با ضخامت B ، انتگرال J بصورت زیر خواهد بود:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

۴-۶- رابطه بین J و CTOD

برای یک ماده با رفتار الاستیک خطی، رابطه بین CTOD و G در معادله (۸-۶) داده شده است. چون J=G برای حالت الاستیک خطی برقرار است، معادلات فوق را می‎توان برای برقراری رابطه با فرض منطقه محدود پلاستیک در نوک ترک بکار برد. به این ترتیب:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

که در آن m یک ثابت بدون بعد بوده و به حالت تنش و خواص ماده بستگی دارد. می‎توان نشان داد که معادله (۲۶-۶) برای مواد با رفتار غیرخطی نیز معتبر می‎باشد. نوار تسلیم شده ای را در منطقه جلو نوک ترک در نظر بگیرید.

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

به تشابه معادلات (۲۹-۶) و (۷-۶) توجه کنید. معادله (۷-۶) از مدل نوار تسلیم شده با حذف ترمهای بزرگتر بسط سری معادله (۶-۶) بدست آمده، در صورتی که چنین فرضی در معادله (۲۹-۶) در نظر گرفته نشده است. بنابراین مدل نوار تسلیم شده که با فرض تنش صفحه ای و ماده کار سخت نشده بدست آمده است پیش بینی می‌کند که برای مواد با رفتار الاستیک خطی و همچنین الاستیک- پلاستیک m=۱ می‎باشد.

۱-۷- مقدمه:

بررسی رشد ترک تحت بارهای خستگی از مباحث اساسی در مکانیک شکست اجسام به شمار می‎آید. پیش بینی عمر مواد تحت اثر خستگی امری بسیار دشوار بوده و علیرغم تحقیقات وسیع در این زمینه، هنوز با اطمینان نمی توان عمر دقیق شکست اجسام را در اثر خستگی پیش بینی نمود. در این بخش روش مکانیک شکست در مسائل خستگی و روابط بین رشد ترک و ضریب شدت تنش مورد بررسی قرار می‎گیرد.

۲-۷- رشد ترک و ضریب شدت تنش

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

عمر رشد ترک، N به صورت مقدار سیکل لازم برای رشد یک ترک تحت خستگی به طول مشخصی تعریف می‎شود. 

رشد ترک در اثر تغییر شرایط هندسی آن در اثر مکانیزم لغزش و انحنادار شدن نوک ترک است.

رشد ترک در اثر تغییر شرایط هندسی آن در اثر مکانیزم لغزش و انحنا شدن نوک ترک است. در حالت الاستیک، ضریب شدت تنش برای تعیین میدان تنش در اطراف ترک کافی می‎باشد. وقتی اندازه منطقه پلاستیک در نوک ترک در مقایسه با طول ترک کوچک باشد، ضریب شدت تنش مشخصه مناسبی برای وضعیت تنش در نوک ترک است. وقتی دو ترک مختلف دارای مقدار یکسان ضریب شدت تنش باشند نشاندهنده آنست که ترک در هر دو با نرخ یکسانی رشد خواهد کرد.

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

که در آن mp , Cp ثابت مواد می باشند. معادله (۳-۷) به معادله پاریس معروف است. مقادیر mp , Cp را می‎توان به آسانی بدست آورد. بعنوان مثال ورقی با ترک مرکزی را در نظر بگیرید که تحت بار کششی متوالی قرار گرفته است.

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

۳-۷- رشد ترک با دامنه ثابت در یک سازه

در اکثر سازه ها معمولاً بار با دامنه متغیر وارد می‎شود که در این صورت تحلیل رشد ترک پیچیده می‎شود. با وجود این، در برخی موارد می‎توان با فرض اعمال بار با دامنه ثابت، بدون استفاده از کامپیوتر تحلیل ساده ای را انجام داد. رشد ترک در یک سازه را می‎توان با استفاده از نمودار نرخ رشد ترک تحلیل نمود. منحنی رشد ترک در یک سازه از نرخ انتگرال زیر پیروی می‌کند:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

برای این کار می‎توان انتگرال گیری را در پله های کوچک با خطای ناچیز انجام داد، اندازه هر پله را می‎توان بعنوان مثال بصورت افزایش ترک باندازه یک صدم طول ترک فرض کرد.

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

برای پله هایی در حدود یک درصد طول ترک تقریب خوبی در محاسبات بدست می‎آید. اگر پله های بزرگتر در نظر گرفته شود بایستی از روشهای انتگرال گیری دیگری نظیر سیمسون و یا رانج- کوتا استفاده شود. در مواقع خاص می‎توان با انتخاب پله های بزرگتر محاسبات را با دست انجام داد.

۳-۸- رشد ترک در حالت خزش

سازه ها و قطعاتی که در درجات حرارت بالا نسبت به نقطه ذوب جسم کار می کنند، ممکن است به علت رشد آهسته و پایدار ترک بشکنند. در این موارد باید در بررسی مکانیک شکست پدیده خزش نیز مورد توجه قرار گیرد.

تغییر شکل در درجات حرارت بالا را می‎توان به چهار گروه تقسیم کرد. کرنش الاستیک (یا آنی)، خزش مرحله ۱، خزش مرحله ۲ (یا پایدار)، و خزش مرحله ۳. بطوری که در قسمت های قبلی این بخش بیان شد، رفتار تنش- کرنش الاستیک جسم آنی نیست (به عبارت دیگر محدود به سرعت صوت در جسم است)، ولی در مسائل خزش چون مقیاس زمان معمولاً بزرگ و برحسب ساعت است، می‎توان آنرا آنی فرض نمود. در خزش مرحله ۱ که در زمانی کوتاه پس از اعمال بار رخ می دهد، بعلت کرنش سختی جسم، نرخ کرنش با زمان کم می‎شود. در خزش مرحله ۲ کرنش سختی و کرنش نرمی (بعلت خزش) متعادل شده و تغییر شکل بصورت پایدار رخ می‎دهد. در نتیجه نرخ خزش در این مرحله ثابت است. در خزش مرحله ۳ ، نرخ خزش بسرعت زیاد شده و نهایتاً جسم می شکند. مکانیزمهای نارسائی ریز دانه ای، نظیر فضای خالی بین دانه ای، خزش مرحله نهایی را تشدید می‌نماید.

رابطه (۲۶-۸) بشکل های مختلف توسط محققین [۱۲-۸] مورد استفاده قرار گرفته است. این رابطه در پیوست (ب) ارائه شده است.

رابطه (۲۶-۸) برای مواد با رفتار وابسته بزمان نیز معتبر است. وقتی J برای این گونه مواد بدست می آید، بیان W بصورت زیر مناسب تر می‎باشد:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

برخلاف روشهای متداول برای محاسبه انتگرال J ، مدار بسته در رابطه (۲۶-۸) نمی توان به طور دلخواه انتخاب شود. برای مثال فرض کنیم در یک ترک تحت بار دینامیکی موجهای تنش از لبه های آزاد منعکس شوند. اگر انتگرال رابطه (۲۶-۸) برای دو مدار با فاصله های معین از نوک ترک محاسبه شود، و موج تنش از یک مدار گذشته باشد و به مدار دوم نرسیده باشد، مقدار انتگرال برای دو مدار یکسان نخواهد بود. بدین ترتیب انتگرال J بطور کلی مستقل از مسیر نیست، مگر اینکه در مجاورت ترک محاسبه شود. اگر در همه نقاط جسم T=۰ باشد، انتگرال رابطه (۲۶-۸) بشکل انتگرال J در حالت شبه استاتیک خواهد شد. در اینحالت حالت ناپیوستگی J نسبت به مسیر حفظ شده و W پتانسیل الاستیک جسم خواهد بود.

به هنگام رشد ترک در درجات حرارت بالا، هر چهار مرحله مربوط به خزش می‎تواند به طور همزمان رخ دهد، مواد نزدیک به نوک ترک در حالت نارسایی و یا به عبارت دیگر در حالت خزش مرحله ۳ هستند. در مناطق دور از نوک ترک مواد می‎توانند حالت الاستیک داشته باشند، و در فواصل بین این دو حالت می‎تواند خزش مرحله ۱ و ۲ حکمفرما باشد.

در بررسی تحلیلی رشد ترک در حالت خزش، معمولاً حالتهای ساده تری را مورد بررسی قرار می‎گیرد که در آن یک یا چند حالت بیان شده فوق وجود نداشته باشند. برای مثال اگر عمدتاً جسم در حالت الاستیک باشد و منطقه خزش محدود به منطقه کوچکی در اطراف ترک شود، رشد ترک به کمک ضریب شدت تنش تحلیل می گردد. در حالت دیگر اگر همه جسم در وضعیت خزش مرحله ۲ قرار داشته باشد، خزش مرحله ۳ و کرنش الاستیک می‎تواند صرف نظر گردد.

در قسمتهای زیر پارامتری که برای مرحله دوم خزش بکار می رود مورد بحث قرار می گیرد، بطور خلاصه انتقال از حالت الاستیک به حالت خزش پایدار بررسی می‎شود.

۴-۸- مکانیک شکست ویسکوالاستیک

در سالهای اخیر مواد پلیمر در سازه ها کاربرد زیادی پیدا کرده اند. در نتیجه مقاومت شکست این مواد مورد توجه قرار گرفته و تحلیلهای مناسب برای آن ارائه گردیده است. بعلت رفتار ویسکوالاستیسیته این مواد، بیشتر مکانیزمهای شکست ارائه شده برای فلزات، نمی تواند برای پلیمرها مورد استفاده قرار گیرد.

تحلیل تئوری مکانیک شکست اجسام ویسکوالاستیک نسبتاً جدید است و کارهای آزمایشگاهی در این زمینه نیز نادر هستند. در این قسمت مکانیک شکست ویسکوالاستیک با استفاده از دست آوردهای جدید ارائه می گردد. بدین منظور بیشتر از کارهای شاپری استفاده می‎شود. تئوری ارائه شده توسط شاپری کاملترین مبنا بوده و دست آوردهای او با J و C* ارتباط داده شده است.

۱-۴-۸- ویسکوالاستیسیته خطی

ویسکوالاستیسیته کلیترین و پیچیده ترین نوع رفتار وابسته به زمان اجسام است. از نقطه نظر مکانیک محیط های پیوسته، خزش ویسکوپلاستیک در فلزات حالت خاصی از رفتار ویسکوالاستیک مواد است. در حالیکه خزش در فلزات معمولاً بصورت تغییر شکل دائم در نظر گرفته می شود، در اجسام ویسکوالاستیک، کرنش با زمان می‎تواند بازیابی شود. در پلیمرها تغییر شکل وابسته به زمان و بازیابی نتیجه ساختمان ملکولی آنها می‎باشد.

در ابتدا برای ارائه بحث رفتار ویسکوالاستیک خطی مواد مورد بررسی قرار می‎گیرد. در این حالت منظور از خطی این است که جمع آثار و تناسب در آنها می‎تواند مورد استفاده قرار گیرد. شرط اول بدین مفهوم است که تنش ها و کرنش ها در زمان t قابل جمع شدن هستند.

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

برای این که تغییر ناپیوسته تنش در t=۰ امکان‌پذیر باشد، حد پائین انتگرال یک زمان بسیار کوچک قبل از t=۰ ، صفر در نظر گرفته می‎شود. روابطی مثل رابطه (۵۹-۸)، انتگرال موروثی نامیده می شوند، چون شرایط در زمان t بستگی به سابقه قبل از آن دارد. انتگرال موروثی برای تنش را می‎توان از معکوس رابطه (۵۹-۸) بدست آورد:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

با اعمال تقارن تعداد ثابت های نرمی خزش به دست می‎آید. برای مواد ایزوتروپ و ویسکوالاستیک خطی، دو ثابت مستقل وجود خواهد داشت. برای بیان رفتار مکانیکی جسم از دو ثابت E(t) یا D(t) که به هم وابسته اند و vc(t) ضریب پواسون برای خزش استفاده می‎شود.

با استفاده از روند شاپری می‎توان یک شبه کرنش الاستیک برای حالت تک محوری بصورت زیر بیان نمود:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

مزیت معربی شبه کرنش ها در این است که آنها را می‎توان به کمک قانون هوک به تنش ها ارتباط داد. بدین ترتیب اگر حل الاستیک خطی برای یک هندسه خاص شناخته شده باشد، می‎توان حل ویسکوالاستیک خطی آنرا به کمک انتگرال کلی (۶۲-۸) بدست آورد. اگر دو شکل یکسان یکی از جنس الاستیک خطی و دیگری از جنس ویسکوالاستیک خطی ساخته شده باشد، با فرض این که بارگذاری روی هر دو یکسان باشد، تنش های باید در هر دو جسم یکسان باشد، و کرنش ها از روابط (۶۱-۸) یا (۶۷-۸) بدست می آیند. این یک قسمت خاص از اصل وابستگی است و مشابه تشابه هاف برای اجسام الاستیک و ویسکوز می‎باشد.

۲-۴-۸- انتگرال ویسکوالاستیک 

معادلات مشخصه:

شاپری یک انتگرال کلی ارائه داد که برای تعداد زیادی از مواد ویسکوالاستیک قابل استفاده است. او از رابطه مشخصه ویسکوالاستیک غیرخطی به شکل انتگرال کلی زیر استفاده کرد:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

تانسور شبه کرنش و مدول مرجع در رابطه (۶۸-۸) مشابه حالت خطی هستند. در قسمت قبلی از این دو مشخصه برای ربط دادن مسائل ویسکوالاستیک خطی به مسائل الاستیک استفاده شد. در این قسمت نیز از این دو مشخصه برای ربط دادن مسائل ویسکوالاستیک غیرخطی به مسائل الاستیک غیرخطی استفاده می‎شود.

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

اصل وابستگی

دو جسم با شکل هندسی یکسان، یکی از جسم الاستیک و دیگری از جسم ویسکوالاستیکی که با رابطه (۶۸-۸) بیان می شود، در نظر گرفته می‎شود. فرض می‎شود که در زمان یک نیروی سطحی به هر دو شکل و روی سطح مرزی آنها وارد شود اگر تنش ها و کرنش ها به ترتیب در جسم الاستیک و مقادیر مشابه در جسم ویسکوالاستیک باشند، این مقادیر و تغییر مکانهای مربوط به آنها به صورت زیر به هم وابسته اند:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

روابط (۷۱-۸)، اصل وابستگی که توسط شاپری معرفی شد و برای حل یک مساله ویسکوالاستیک مورد استفاده است، را نشان می‎دهد. این اصل از این واقعیت نتیجه گیری شده است که در دو جسم تنش ها باید برابر باشند، و کرنش ها نیز باید سازگاری را براورد نمایند. در ضمن با تساوی تنش ها روی مرزها رابطه زیر برقرار است:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

کاربرد اصل وابستگی برای ویسکوالاستیسیته، معمولاً همراه با انتقال لاپلاس روی انتگرال موروثی از نوع رابطه (۶۲-۸) می‎باشد که شامل تنش ها و کرنش های واقعی است.

انتگرال کلی J :

به کمک اصل وابستگی در رابطه (۷۱-۸)، می‎توان یک بیان کلی برای انتگرال J با استفاده از تشابه با حالت الاستیک غیرخطی بصورت زیر بدست آورد:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

تنش ها در رابطه (۷۲-۸) مقادیر واقعی هستند و حال آنکه کرنش ها و تغییر مکانها و مقادیر شبه الاستیک می باشند. مقادیر حقیقی کرنش ها و تغییر مکانها توسط رابطه 

(۷۱-۸) داده شده اند. در حالت دیگر اگر مقادیر واقعی uij , Eij شناخته شده باشند، JV را می‎توان از مقادیر رابطه (۷۳-۸)، به دست آورد. شبه کرنش ها و تغییر مکانها برابرند با:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

با قرار دادن این مقادیر در رابطه (۷۳-۸)، دیده می‎شود  که JV=C* است. بنابراین C* یک حالت خاص JV می‎باشد. JV پارامتری است که محدوده وسیعی از اجسام با رفتار وابسته به زمان را شامل می شود، و خزش ویسکوز یکی از حالت های خاص آن می‎باشد.

نزدیک نوک ترک، تنش ها و شبه کرنش ها، با روابطی مشابه روابط HHR بفرم (۳۳-۸)، به کمک JV بیان می‎شوند. J ویسکوالاستیک به کمک نرخ رهایی شبه انرژی بصورت زیر بیان شود:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

راه اندازی و رشد ترک

برای بیان راه اندازی و رشد ترک، لازم است JV به پارامترهای فیزیکی نظیر CTOD و کار شکست نسبت داده شود. شاپری این ارتباط را با فرض یک نوار در حال تسلیم در جلوی نوک ترک، که در آن تنش بسته شدن   با x تغییر نکند، با استفاده از رابطه (۴۴-۸) نتیجه می‎شود:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

یک معیار نارسایی موضعی دیگر کار شکست Wf می‎باشد. با برابر قرار دادن کار ورودی به نوک ترک با انرژی لازم برای پیشروی نوک ترک باندازه 

da رابطه تعادل زیر برای راه اندازی بدست می‎آید:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

که در آن ضخامت واحد و بارگذاری به شیوه I فرض شده است.

تعادل انرژی رابطه (۸۰-۸) را می‎توان به صورت زیر نیز نوشت:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

۳-۴-۸- انتقال از رفتار خطی به رفتار غیرخطی

برخی پلیمرها در تنش های کم ویسکوالاستیک خطی هستند و حال آنکه در تنش های بالا غیرخطی می باشند. یک نمونه دارای ترک در منطقه ای که نزدیک به نوک ترک است مشابه منطقه پلاستیک رفتار غیرخطی، در منطقه اطراف آن رفتار ویسکوالاستیک خطی نشان می‎دهد. دست آوردی که در قسمتهای قبلی این بخش ارائه شده فقط برای حالتی قابل استفاده است که یکی از دو رفتار (خطی یا غیرخطی) غالب باشد.

اخیراً شاپری عبارت JV را بگونه ای اصلاح کرد که رفتار انتقال از تنش کم به تنش بزرگ را نیز شامل شود شاپری یک رابطه مشخصه ارائه نمود که در آن کرنش دو انتگرال کلی یک مربوط به کرنشهای و یک سو الاستیک خطی و دیگری مربوط به کرنش های غیرخطی، بیان شده است.

برای حالتی که جسم تحت تنش کششی تک محوری،   قرار دارد، کرنش خزشی در این مدل به صورت زیر داده شده است:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

در تنش های کم و زمانهای کوتاه، ترم دوم رابطه (۸۵-۸) غالب است، و حال آنکه ترم اول برای تنش های بالا و زمانهای طولانی غالب خواهد بود. برای یک جسم ویسکوالاستیک، با ترک ساکن و بار ثابت، منطقه غیرخطی در ابتدا کوچک است، ولی معمولاً با زمان ازدیاد می یابد، تا این که رفتارغالب جسم غیرخطی می شود، بدین ترتیب یک تشابه بین این حالت و انتقال از رفتار الاستیک به رفتار ویسکوز (قسمت ۲-۸) وجود دارد.

نزدیک به نوک ترک، ولی خارج از منطقه خرابی، رابطه تنش با شبه کرنش بصورت تابعی نمایی زیر است:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

حال یک تانسور شبه کرنش بگونه ای تعریف می‎شود که اگر در انتگرال غیروابسته بزمان رابطه (۷۲-۸) قرار داده شود، منجر به یک مقدار JL گردد. همچنین فرض می‎شود که تانسور شبه کرنش به تنش از طریق توابع دانسیته انرژی مکمل شبه کرنش خطی، Wcl و نمایی Wcn ، بصورت زیر وابسته است:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

حال حالتی در نظر گرفته می‎شود که حالت تکینه داخلی و بیرونی روابط (۸۷-۸) و

(۸۸-۸) همزمان وجود داشته باشند. برای حالت تکینه بیرونی، ترم دوم رابطه (۹۰-۸) غالب است، تنش ها با رابطه (۸۸-۸) بیان می شوند، و JL با KI به صورت زیر وابسته می‎شود:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

شاپری نشان داد که برای رفتار خالص الاستیک f=۱ است. در نتیجه منطقه غیرخطی قابل صرف نظر کردن است و JL حد مقدار JV  می‎باشد. تابع f نشان دهنده محدوده غیرخطی است. در بیشتر حالت ها f با زمان ازدیاد می یابد، تا این که Jv به Jn برسد که در آن Jn مربوط به حالتی است که نمونه تحت رفتار غالب ویسکوالاستیسیته غیرخطی قرار دارد. شاپری همچنین نسبت زیر را مورد تائید قرار داد:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )

برای حالتهای غیرخطی کم، روابط (۹۳-۸) و (۹۴-۸) تعریف مناسبی برای انتقال به غیرخطی می باشند. شاپری با قرار دادن Jv= Jn در رابطه (۹۳-۸)، یک زمان انتقال به صورت زیر تعریف نمود:

( جهت مطالعه متن کامل این قسمت فایل پیوست را دانلود نمایید. )


مشخصات

مشخصات

تاریخ درج: ۱۳۹۵/۷/۱۳ منبع: دیتاسرا

خرید آنلاین

خرید آنلاین

عنوان: مکانیک شکست (Fracture Mechanics) حجم: 1.34 مگابایت قیمت: 2000 تومان رمز فایل (در صورت نیاز): www.datasara.com

مفهوم اگزرژی (Exergy)، کاربردهای اگزرژی در تحلیل سیستم، یک نمونه تحلیل اگزرژی
فايل پيوست

زمان درج مطلب
۱۳۹۵/۷/۱۳

مفهوم اگزرژی و کاربرد‌های اگزرژی در تحلیل سیستم: زمانی که قانون اول ترمودینامیک به عنوان اصل بقای انرژی بیان می شود، با کمیت اشکال مختلف انرژی سروکار داریم. از دیدگاه ... [ ادامه مطلب ]

پرداخت و دانلود قیمت: 2500 تومان

مکانیک شکست (Fracture Mechanics)
فايل پيوست

مقدمه : یکی از عمده ‌ترین مسائلی که انسان از زمان ساختن ساده‌ترین ابزارها با آن مواجه بوده است پدیده شکست در اجسام می‌باشد و درواقع برای استفاده از مواد ... [ ادامه مطلب ]

پرداخت و دانلود قیمت: 2000 تومان

Stable And Metastable State
فايل پيوست

مقدمه: گیبس در مقاله خود در سال 1873 به نام "روشی در توصیف هندسی خواص ترمودینامیکی مواد در سطوح" خلاصه ‌ای ابتدایی از قوانین معادله‌ی جدیدش را معرفی می‌کند که ... [ ادامه مطلب ]

پرداخت و دانلود قیمت: 1500 تومان

مطالعه عددی ذوب کردن در داخل حلقه‌های افقی متحد المرکز و خارج از مرکز

چکیده: این مقاله، به بررسی عددی روی ذوب مواد تغییرفازدهنده با استفاده از N-eicosane  در داخل یک سیلندر استوانه‌ای می‌پردازد. شبیه سازی عددی برای ذوب مواد تغییرفازدهنده  بین دو استوانه در حالت‌های متحدالمرکز و خارج از مرکز با استفاده از نرم‌افزار فلوئنت که دمای اولیه‌ی آن C˚۱ است. استوانه‌ی داخلی، لوله‌ای با دیواره‌های داغ درنظر گرفته می‌شود در حالی‌که لوله‌ی ... [ ادامه مطلب ]

انرژی خورشیدی و کاربرد های آن در گرمایش،سرمایش و ذخیره سازی انرژی (فصل اول: انرژی خورشیدی)

خورشید منبع عظیم انرژی بلکه سرآغاز حیات و منشاء تمام انرژیهای دیگر است. در حدود ۶۰۰۰ میلیون سال از تولد این گوی آتشین می‌گذرد و در هر ثانیه ۲/۴ میلیون تن از جرم خورشید به انرژی تبدیل می‌شود. با توجه به وزن خورشید که حدود ۳۳۳ هزار برابر وزن زمین است. این کره نورانی را می‌توان به‌عنوان منبع عظیم انرژی ... [ ادامه مطلب ]

شبیه سازی عددی عملکرد حرارتی سیستم گرمایش از کف با مواد تغییر فاز محصور (PCM)

چکیده در مقاله حاضر، یک نوع از مواد تغییر فاز محصور گرمایش از کف آب گرم دما پایین و همچنین سیستم تابشی خورشیدی مورد بررسی یک ساختار ،PCM  قرار گرفته است . برای به دست آوردن بهترین عملکرد خواص جدید گرمایش ی طراحی گردیده که در آن لوله های انتقال حرارت در یک لایه محصور مواد تغییر فاز بدون بتن ریزی ... [ ادامه مطلب ]

دینامیک سیالات محاسباتی‎

فصل اول (معرفی CFD): برای حل جریان حول یک هندسه دلخواه از این روش ها استفاده می شود: روش تجربی، روش تحلیلی، روش عددی یا CFD هر یک از این روش ها کاربرد خاص خود را دارد و از مزایا و معایب خود برخوردار است.در روش تجربی از آزمایشگاه و تونل باد گرفته تا تست های واقعی پرواز استفاده می شود ... [ ادامه مطلب ]

فایل اکسل جامع طراحی دیوار حائل (با در نظر گرفتن نیروی زلزله)
فايل پيوست

تک فایل اکسل طراحی دیوار حائل (با در نظر گرفتن نیروی زلزله) دیوار حائل یا سازه نگهبان بنایی است که به منظور تحمل بارهای جانبی ناشی از خاکریز پشت دیوار، سازه ... [ ادامه مطلب ]

پرداخت و دانلود قیمت: 7500 تومان
 مشخصات کلی: 

گروه: اکسل طراحی

2 فایل اکسل مجزا جهت طراحی فونداسیون تجهیزات افقی، قائم و پیت (Air Separation Units, Heat Exchangers, Drums, Pits...)
فايل پيوست

2 فایل اکسل مجزا جهت طراحی فونداسیونهای تجهیزات: Air Separation Units, Heat Exchangers, Horizontal & Vertical Drums, Pits پالایشگاه ها و مجتمعهای پتروشیمی مجموعه هایی متشکل از تجهیزات گوناگون صنعتی هستند؛ تجهیزاتی ... [ ادامه مطلب ]

پرداخت و دانلود قیمت: 9500 تومان
 مشخصات کلی: 

گروه: اکسل طراحی

3 فایل اکسل مجزا جهت طراحی فونداسیون های تجهیزات دینامیک: Compressors & Pumps (reciprocating & centrifugal), Oil-Water Skid
فايل پيوست

3 فایل اکسل مجزا جهت طراحی فونداسیونهای تجهیزات دینامیک: Compressors & Pumps (reciprocating & centrifugal), Oil / Water Skid در ساخت یک مجتمع پتروشیمی تجهیزات متعددی مورد استفاده قرار می گیرد. برخی از ... [ ادامه مطلب ]

پرداخت و دانلود قیمت: 12500 تومان
 مشخصات کلی: 

گروه: اکسل طراحی

دستورالعمل جامع آشنایی با اصول طراحی سکوهای ثابت فلزی دریایی
فايل پيوست

مجموعه دستورالعمل های ارائه شده در دیتاسرا شامل ضوابط و مراحل تحلیل و طراحی سازه های گوناگون صنعتی و بر اساس الزامات مندرج در آیین نامه های معتبر داخلی و ... [ ادامه مطلب ]

پرداخت و دانلود قیمت: 25000 تومان

دستورالعمل کاربردی و گام به گام طراحی سازه های باز بتنی (پایپ رک ها) و فونداسیون
فايل پيوست

مجموعه دستورالعمل های ارائه شده در دیتاسرا شامل ضوابط و مراحل تحلیل و طراحی سازه های گوناگون صنعتی و بر اساس الزامات مندرج در آیین نامه های معتبر داخلی و ... [ ادامه مطلب ]

پرداخت و دانلود قیمت: 15000 تومان

دستورالعمل طراحی سازه های فولادی به روش DIRECT ANALYSIS METHOD بر اساس آئین نامه AISC با استفاده از نرم افزارهای SAP و ETABS
فايل پيوست

مجموعه دستورالعمل های ارائه شده در دیتاسرا شامل ضوابط و مراحل تحلیل و طراحی سازه های گوناگون صنعتی و بر اساس الزامات مندرج در آیین نامه های معتبر داخلی و ... [ ادامه مطلب ]

پرداخت و دانلود قیمت: 12500 تومان

دستورالعمل طراحی فونداسیون های تجهیزات ارتعاشی (چرخشی، رفت و برگشتی)ـفارسی
فايل پيوست

مجموعه دستورالعمل های ارائه شده در دیتاسرا شامل ضوابط و مراحل تحلیل و طراحی سازه های گوناگون صنعتی و بر اساس الزامات مندرج در آیین نامه های معتبر داخلی و ... [ ادامه مطلب ]

پرداخت و دانلود قیمت: 12500 تومان

تقویت کننده ی شبه تفاضلی کلاس-AB برمبنای اینورتر CMOS برای کاربردهای HF
فايل پيوست

 Abstract This paper presents a CMOS inverter-based c1ass-AB pseudo differential amplifier for HF applications using new sim pIe rail-to-rail CMFB circuit. The proposed circuit em ploys two CMOS inverters and the ... [ ادامه مطلب ]

پرداخت و دانلود قیمت: 5000 تومان

روش جاروب رو به عقب، برای حل پخش بار در شبکه های توزیع
فايل پيوست

Abstract A methodology for the analysis of radial or weakly meshed distribution systems supplying voltage dependent loads is here developed. The solution process is iterative and, at each step, loads are ... [ ادامه مطلب ]

پرداخت و دانلود قیمت: 8000 تومان

بازسازی سه بعدی و تشخیص چهره با استفاده از ICA مبتنی بر هسته و شبکه های عصبی
فايل پيوست

Abstract Kernel-based nonlinear characteristic extraction and classification algorithms are popular new research directions in machine learning. In this paper, we propose an improved photometric stereo scheme based on improved kernel-independent component ... [ ادامه مطلب ]

پرداخت و دانلود قیمت: 9000 تومان

ناحیه کاربری

فرمت ایمیل صحیح نمی باشد. ایمیل خود را وارد نمایید.

رمز عبور خود را وارد نمایید.

مجله اینترنتی دیتاسرا
کلیه حقوق مادی و معنوی این وبسایت متعلق به گروه نرم افزاری دیتاسرا می باشد.
ایمیل:
support.datasara[AT]gmail[دات]com

Copyright © 2018