سیستم های صف بندی زمان گسسته با تعطیلی های انحصاری مارکوفب Discrete-time queueing systems with Markovian preemptive vacations

مقدمه

اثبات شده که سیستم های صف بندی با تعطیلی در مدلسازی عدم قابلیت اطمینان سرورها انتزاع مفیدی هستند و در سیستم های مدلسازی که در آنها منابع خدمات بین چندین رده از مشتریان اشتراکی است سودمندند. نمونه های معمول رده برنامه های قبلی شامل مدل های تعمیر/نگهداری و سیستم های ARQ می باشد. مدل های صف بندی اولویت، و مدل های نمونه برداری مثال هایی از رده دوم هستند.

در این مشارکت، ما صف (نیاز به دانلود ترجمه) زمان گسسته مربوط به تعطیلی ها را در نظر می گیریم. فرایند تعطیلی مارکوفی است و علاوه بر این ممکن است وابسته به حالت سیستم باشد: احتمال رها کردن یک تعطیلی در انتهای یک شکاف و طول مدت این تعطیلی بسته به این است که آیا مشتری در عرض شکاف خدماتی دریافت می کند یا خیر، و اگر اینگونه است، آیا خدمت رسانی به این مشتری ادامه می یابد یا نه، و بعد از یک سیستم خالی به رها کردن خدمات خاتمه می دهد، یا خدمات را خاتمه می دهد اما پس از یک سیستم غیر خالی. اینگونه، تعطیلی ها می توانند خدمات مشتری را دچار وقفه کنند؛ گاهی اوقات به چنین تعطیلاتی با عنوان انحصاری نام برده شده ک که مطابق با واژه شناسی سیستم های صف بندی اولویت است. بنابراین ما حالات مختلف عملکرد را در نظر می گیریم تا از عهده این وقفه ها (اختلالات) بر آییم: مشتری پس از وقفه به دریافت خدمات خود باز می گردد، خدمات خود را تکرار می کند یا مشتری خدمات خود را با زمان خدمت رسانی تکرار می کنند که احتمالاً متفاوت از زمان خدمت رسانی اولیه است.

مدل تحت نظر می تواند رفتار تعدادی از مدل های تعطیلی کلاسیک را ثبت و ضبط نماید – شامل سیستم تعطیلی جامع با تعطیلی های منفرد و چندتایی و سیستم های تعطیلی محدود به تعداد و زمان – و همچنین سیستم های همراه با فرایند تعطیلی مستقل انحصاری. مدل های تعطیلی کلاسیک به طرز کسترده ای در مونوگراف های عالی Takagi در تئوری صف بندی زمان پیوسته و زمان گسسته اصلاح شده اند. نتایج جدیدتر نیز توسط Tian و Zhang خلاصه شده اند. سیستم هایی که با فرایند تعطیلی مستقل انحصاری همراهند در اینجا مورد بررسی و ارزیابی قرار گرفته اند. از چنین سیستم هایی در اغلب موارد با عنوان سیستم های همراه با وقفه های سرور یا از کار افتادگی سرور نام برده شده است. دسترس پذیری سرور از این پس می تواند با تغییر دسترس پذیری سرور بین روشن بودن و خاموش بودن به عنوان فرایند خاموش – روشن مدلسازی شود.

ما ابتدا روی مدل های زمان پیوسته تمرکز می کنیم. طبق اظهارات Ibe و Trivedi، White و Christie اولین کسانی بودند که صف های دارای وقفه را بررسی و مطالعه کردند. آنiا سیستم صف بندی M/M/1 زمان پیوسته را در نظر گرفتند که در آن فرایند تعطیلی به عنوان فرایند روشن – خاموشی مدلسازی شده که با دوره های روشن و خاموش دارای توزیع نمایی همراه است. زمان های خدمات توزیع شده و دوره های خاموش توسط Avi-Itzhak و Naor و همچنین Thiruvengadam بررسی شده اند. این نویسندگان دوره های روشن دارای توزیع نمایی را به بر خلاف Federgruen و Green در نظر می گیرند، که دوره های روشن نوع فاز را در نظر گرفته اند. Van Dijk تحلیل تخمینی از سیستمی با زمان های خدمات دارای توزیع نمایی ارائه می کند اما با دوره های روشن و خاموش دارای توزیع عمومی در حالی که Takine و Sengupta سیستم صف بندی تعطیلی را در محیط ماژوله شده مارکوف مطالعه کرده اند. نویسندگان دوم نیز امکان همبستگی در فرایند ورود را فراهم می کنند. صف هایی که دارای وقفه هستند نیز خارج از چارچوب صفه های تک سروری اول آمده اول خدمات می گیرد مورد مطالعه و بررسی قرار گرفته اند. Ke و همکارانش سیستم صف بندی چند روری مارکوفی را با وقفه های سرور در نظر می گیرند، و نشان می دهند که فرایند صف بندی می تواند با فرایند شبیه تولد – مرگ (QBD) تعریف شود و از نظر عددی با فرایند QBD حل شود. Choudhury و Ke عملکرد صف آزمایش مجدد همراه با وقفه ها را با استفاده از مشی pgf ارزیابی می کنند. به علاوه، سیستم صف بندی اشتراک پردازشگر با دوره های روشن دارای توزیع نمایی و دوره های تعطیلی دارای توزیع عمومی توسط Nunez Queija مورد مطالعه قرار گرفته است. در تمام این مشارکت ها فرض بر این است که مشتریان پس از وقفه دوباره سرویس رسانی می شوند. Gaver Jt. نیز موردی را در نظر می گیرد که در آن خدمات یا تکرای هستند با تکراری هستند و پس از وقفه دوباره نمونه گیری شده اند. حالت عملیاتی دوم نیز توسط Ibe و Trivedi برای سیستم نمونه گیری دو جایگاهی مورد مطالعه قرار گرفته و Krishnamoorthy و همکارانش این حالت را برای فرایند ورود مارکوف و زمان های خدمات نوع فاز بررسی کرده اند.

تحقیق در مورد سیستم های صف بندی زمان گسسته با وقفه های خدمات بعد از این شروع شد. مشارکت های اخیر شامل همکاری های Hsu و Heines است. هر دو نویسنده سیستم سرور منفرد را با تعطیلی های سرور برنولی و فرایند ورود پواسون اصلاح می کنند. نویسنده اول محتوای صف را در مرزهای شکاف تصادفی در نظر می گیرد در حالیکه نویسنده دوم محتوای صف را در زمان تکمیل خدمات در نظر می گیرد. یک سیستم سرور منفرد با فرایند ورود مستقل و فرایند تعطیلی سرور روشن/خاموش همبسته توسط Bruneel، Yang و Mark و Woodside و Ho اصلاح شده است. Yang و Mark و Woodside و Ho دوره های روشن و خاموش را به عنوان دو سری متغیر تصادفی هندسی تغییر یافته مستقل مدلسازی می کنند در حالیکه Bruneel فرض را بر این می گذارد که سری دوره های روشن بعدی و همچنین سری دوره های خاموش متعاقبا آن توزیع عمومی مشترکی را به اشتراک بگذارند. تنها محدودیت در مشارکت دوم این است که تابع تولید احتمال مشترک از دوره های روشن باید منطقی باشد. در عو، همبستگی در فرایند تعطیلی با استفاده از فرایند مارکوفی توسط Lee ثبت و ضبط شده است.

Georganas و Bruneel سیستم های چندسروری را با ورودی مشتری مستقل و فرایندهای تعطیلی سرور اصلاح کرده اند. مورد دوم مورد اول را از آن نظر بسطر می دهد که فرض را بر این نمی گذارد که تمام سرورها یا در دسترسند یا بطور همزمان در حالت استراحت هستند. تحلیل تأخیر سیستم دوم توسط Laevens و Bruneel ارائه شده است. Bruneel سیتمی چندسروری را با فرایند تعطیلی مرتبط در نظر می گیرد. در اینجا، فرایند تعطیلی به عنوان فرایند روشن / خاموش (دوره های روشن هندسی) مدلسازی شده است. تعداد سررورهای موجود در دعرض شکاف های روشن متوالی شامل یک سری متغیر تصادفی مستقل و توزیع شده غیر منفی است در حالی که هیچ سروری در عرض دوره های خاموش در دسترس نیست.

برخی از مشارکت ها نیز امکان میزان معینی از همبستگی را در فرایند ورود داده اند. Bruneel فرض می کند که هم فرایند ورود و هم فرایند تعطیلی فرایند های روشن / خاموش با دوره های خاموش و روشن هندسی هستند. تعدادی تصادفی از مشتریان در عرض دوره های ورود – روشن وارد می شوند، در حالی که هیچ مشتری در عرض دوره های خام رسیدن – خاموش وارد سیستم نمی شود. فرایند تعطیلی مشابه با موردی است که توسط Yang و Mark در مورد ورودهای غیر همبسته تحلیل شده است. این فرایند تعطیلی توسط Ali و همکارانش و Kamoun بررسی شده است. اما این نویسندگان فرض می کنند که ورود مشتریان از موقعیت فوق العاده از منابع دو حالتی مارکوفی روشن و خاموش یا از فرایند سلسله ورود می آید.

تمام مدل های صف بندی زمان گسسته قبلی زمان های خدمات مستری یک شکاف منفرد را ثابت کرده اند. سیستم های صف بندی که در آنها مشتریان چندین شکاف را ثابت کرده اند و زمان های خدمات توزیع شده عمومی به ترتیب توسط Inghelbrecht و همکارانش و Fiems و همکارانس بررسی شده اند. فرایند تعطیلی یا یک فرایند مارکوفی دو حالتی است یا یک فرایند تجدید. تلفیق زمان های خدمات چند شکافی و تعطیلی ها اشاره به این دارند که ممکن است خدمات یک مشتری دچار وقفه شود. خدمات می توانند ادامه یابند یا خدمات را با همان زمان سرویس یا با زمان سرویس متفاوتی پس از وقفه تکرار کنند. علاوه بر این خدمات می تواند بصورت جزئی تکرار شود یا پی از وقفه به تعویق بیافتد. در مورد دوم، سرویس در عرض تعطیلی ها ادامه می یابد اما تا زمانی که مشتری خدمات را بدوت تعطیلی دریافت کند تکرار شده است. در نهایت، چون وقفه ها و تکرار سرویس ها سیستم های صف بندی را ارائه می نمایند، Morozov و Fiems ثبات سیستم صف بندی زمان گسسته را با وقفه های سرور و نمونه گیری مجدد پس از وقفه تحت تنظیمات کلی تر توزیع عمومی زمان های روشن، خاموش و وقفه های ورودی بررسی می کنند.

طرح کلی بقیه این مشارکت به شرح زیر است. در بخش بعدی، مدل تحت بررسی با ذکر جزئیات شرح داده شده است. پس از آن در بخش 5-3 تحلیل ارائه شده است. در بخش 3، ما شرح هایی برای توابع تولید احتمال زمان های خدمات موثر مشتریان استنباط کرده ایم. شی زمان سرویس موثر به ما این امکان را می دهد تا تحلیل صف بندی بکپارچه ای برای تمام حالات تحت بررسی ارائه نماییم. تابع تولید احتمال محتوای صف و تأخیر مشتری به ترتیب در بخش های 4 و 5 ارائه شده اند. در بخش 6 ما مدل خود را به چند مدل تعطیلی موجود مرتبط کرده ایم، در حالی که چند کاربرد ترافیک مخابراتی در بخش 7 ارائه شده است. در نهایت در بخش 8 نتیجه گیری شده است.

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

ما سیستم صف بندی زمان گسسته ای در نظر می گیریم، یعنی، زمان به وقفه هایی با طول ثابت با شکاف ها تقسیم شده است. در عرض شکاف های متوالی، مشتریان وارد سیستم می شوند، و در بافر با ظرفیت نامتناهی ذخیره می شوند و به آن ها بر مبنای اول آمده اول خدمات دریافت می کند سرویس داده می شود. شماره های مشتریانی که در عرض شکاف های متوالی رسیده اند به عنوان یک سری متغیرهای مستقل و توزیع شده بصورت یکسان (i.i.d) و غیر منفی با تابع توده احتمال مشترک (نیاز به دانلود ترجمه) و تابع تولید احتمال مشترک متناظر (نیاز به دانلود ترجمه) مدلسازی شده اند. می توان به سادگی تأیید کرد که این فرایند ورود مطابق با فرایند رسیدن دسته ای با زمان های میان ورود توزیع شده هندسی است.

خدمات مشتریات در کران های شکاف متقارن سازی شده اند، و این نشان دهنده این است که مشتری نمی تواند خدمات را قبل از پایان شکاف ورود آن شروع کند. به علاوه، زمان های خدمات – شرح داده شده به عنوان عدد صحیح شکاف ها – ازمشتریان متوالی به عنوان یک سری متغیر تصادفی مثبت i.i.d با (نیاز به دانلود ترجمه) و (نیاز به دانلود ترجمه) مدلسازی شده اند. به علاوه، ما فرض را بر این می گذاریم که زمان خدمات مشتری بواسطه مقدار بیشینه Smax محدود شده است. فرضیه دوم هر جا ممکن باشد تخفیفی خواهد یافت.

ما یک سیستم سرور منفرد را در نظر می گیریم. اما، سرور همیشه در دسترس نیست. در عرض هر شکاف که در آن سرور در دسترس است، فرایند تعطیلی در یکی از N حالت ممکن است، یعنی حالت 1 تا N. فرایند تعطیلی پس از آن با احتمالات زیر تخصیص یافته است.

با توجه به اینکه فرایند تعطیلی در شکاف A خاصی در حالت i است و با توجه به اینکه به مشتری خدمت رسانی می شود و خدمات را در عرض این شکاف خاتمه نمی دهد، سرور تعطیلی به میزان (نیاز به دانلود ترجمه) شکاف می گیرد و فرایند تعطیلی پس از این تعطیلی با احتمال (نیاز به دانلود ترجمه) به حالت j می رود.

مشابهاً، با توجه به اینکه فرایند تعطیلی در شکاف A خاصی در حالت i است و با توجه به اینکه به مشتری در این شکاف خدمت رسانی می شود و اینکه سیستم پس از حرکت این مشتری غیر خالی است، سرور تعطیلی به میزان (نیاز به دانلود ترجمه) شکاف می گیرد و فرایند تعطیلی پس از این تعطیلی با احتمال (نیاز به دانلود ترجمه) به حالت j می رود.

علاوه بر این، با توجه به اینکه فرایند تعطیلی در شکاف A خاصی در حالت i است و با توجه به اینکه مشتری خدمات را در این شکاف خاتمه می دهدو با توجه به اینکه سیستم پس از حرکت این مشتری خالی است، سرور تعطیلی به میزان (نیاز به دانلود ترجمه) شکاف می گیرد و فرایند تعطیلی پس از این تعطیلی با احتمال (نیاز به دانلود ترجمه) به حالت j می رود.

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

برای راحتی و ارجاع بیشتر، معنای بالانویس های a تا d بالا نیز در جدول 1 خلاصه شده اند. می توان اشاره کرد که دوره های تعطیلی با طول صفر مجازند. در آن مورد، سرور در عرض شکاف بعدی در دسترس است.

برای استفاده بیشتر، ما توابع تولید احتمال جزئی (نیاز به دانلود ترجمه) را طبق احتمالات (نیاز به دانلود ترجمه) برای (نیاز به دانلود ترجمه) تعریف می کنیم،

که ما آن را در ماتریس های (نیاز به دانلود ترجمه) جمع آوری می کنیم.

چون احتمالات (نیاز به دانلود ترجمه) کاملاً بواسطه توابع تولید احتمال متناظر اختصاص یافته اند، فرایند وقفه نیز با ماتریس های (نیاز به دانلود ترجمه) ، (نیاز به دانلود ترجمه) توصیف شده اند.

واضح است که وجود زمان های سرویس چند شکافی و تعطیلی ها اشاره به این دارند که تعطیلی می تواند در حینی که یک مشتری خدمات دریافت می کند شروع شود. در ادامه پس از حالت وقفه (CAI)، مشتری خدمات را پس از تعطیلی ادامه می یابد، در تکرار پس از حالت وقفه (RAI)، مشتری باید تمام کارها را شروع کند. این موردی است که برای تکرار پس از حالت وقفه با نمونه گیری مجدد (نیاز به دانلود ترجمه) وجود دارد. اما، در مورد دوم، زمان های خدمات پس از هر وقفه نمونه گیری مجدد شده اند.

3- زمان های خدمات موثر

اجازه دهید زمان خدمات مشتری اشاره به تعداد شکاف هایی داشته باشد که به طرز کارامد برای خدمت رسانی به یک مشتری خاص صرف می شود. زمان سرویس موثر یک مشتری به عنوان تعدا شکاف های میان آغاز شکافی که در آن مشتری برای اولین بار خدمات دریافت می کند و پایان شکافی که در آن مشتری سیستم را ترک می کند تعریف شده است. بنابراین زمان های سرویس کارامد شامل زمان تعطیلی محتمل (وقفه های خدمات) می باشد و در مورد RAI یا حالت RAI، wr (نیاز به دانلود ترجمه) نیز شکاف های خدمات را از دست می دهد. توجه داشته باشید که تعریف قبلی اشاره به این دارد که سرور همیشه در عرض اولین و آخرین شکاف زمان خدمات کارامد مشتری در دسترس است.

1-3- ادامه دادن پس از وقفه

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

ما با شرط گذاری روی طول تعطیلی که پس از اولین شکاف زمان سرویس کارمد و در حالت فرایند تعطیلی پس از این تعطیلی در نظر گرفته شده، برای مقادیر (نیاز به دانلود ترجمه) و (نیاز به دانلود ترجمه) به فرمول زیر می رسیم:

برای (نیاز به دانلود ترجمه) در حالی که احتمال قبلی برای (نیاز به دانلود ترجمه) معادل با صفر است. معادله قبلی صادق است، از از نظر مزیت سرور، چون هیچ تفاوتی میان خدمت رسانی در زمان باقیمانده سرویس یک مشتری و خدمت رسانی به یک مشتری جدید با زمان سرویس معادل با زمان سرویس باقیمانده وجود ندارد.

اجازه دهید (نیاز به دانلود ترجمه) اشاره به pgf شرطی زئی متناظر با احتمالات پیشین داشته باشد، بنابراین چند دستکاری تبدیل z استاندارد برای مقادیر (نیاز به دانلود ترجمه) و حاصل می شوند،

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

برای تمامی مقادیر n و داریم .

معادل pgf متناظر آن برای مقادیر (نیاز به دانلود ترجمه) برابر (نیاز به دانلود ترجمه) است. در اینجا، (نیاز به دانلود ترجمه) اشاره به تابع دلتای Kronecker دارد، یعنی (نیاز به دانلود ترجمه) برای n=0 معادل با 1 است و در غیر اینصورت برابر با صفر است. توجه داشته باشید که در این مورد خاص، اولین و آخرین شکاف زمان سرویس کارامد مشابهند.

برای سادگی نوشتاری، اجازه دهید (نیاز به دانلود ترجمه) اشاره به ماتریس (نیاز به دانلود ترجمه) با عناصر (نیاز به دانلود ترجمه) دارد، بنابراین معادله (4) برای مقادیر k>1 و دیگر مقادیر (نیاز به دانلود ترجمه) فرمول زیر را حاصل می کند،

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

با جمع تمام زمان های سرویس ممکن با توجه به توزیع زمان سرویس ماتریس (نیاز به دانلود ترجمه) زمان سرویس موثر زیر را حاصل می کند

ماتریس (نیاز به دانلود ترجمه) در بخش های 4 و 5 مورد استفاده قرار خواهد گرفت.

2-3- تکرار پس از وقفه با نمونه گیری مجدد

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

ما با شرط گذاشتن روی طول تعطیلی پس از اولین شکاف سرویس موقر و حالت فرایند تعطیلی پس از این تعطیلی برای مقادیر (نیاز به دانلود ترجمه) و برای (نیاز به دانلود ترجمه) و برای مقادیر n>1 به فرمول زیر می رسیم:

فرمول اول صادق است، چون از نقطه برتری سرور، هیچ تفاوتی میان خدمت رسانی به مشتری در مرتبه دیگر با زمان سرویسی که جدیداً نمونه گیری شده است و خدمت رسانی به مشتری جدید وجود ندارد. همانند CAI، زمان سرویس موثر یک شکاف می گیرد و این در صورتی است که زمان سرویس هم یک شکاف بگیرد.

در این مورد، اولین شکاف زمان سرویس موثر نیز آخرین مورد است. بنابراین، ما به (نیاز به دانلود ترجمه) می رسیم.

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

در همان روشی که برای CAI وجود دارد، مورد اول برای K>1 و (نیاز به دانلود ترجمه) به معادله ماتریس زیر تبدیل می شود

با تلفیق این مورد با مورد قبلی و با اعمال معادله (10) داریم:

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

و

با جمع کل زمان های سرویس ممکن با توجه به توزیع زمان سرویس داریم

در اینجا (نیاز به دانلود ترجمه) به ترتیب با فرمول های زیر داده شده اند:

و

همانند CAI، ماتریس (نیاز به دانلود ترجمه) در تحلیل صف بندی استفاده خواهد شد؛ به بخش 4 و 5 رجوع نمایید.

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

برای RAI می توانیم به همان شیوه ای که برای CAI و RAI,wr ادامه می دادمی جلو برویم. اما قرار دادن مبنای تحلیلمان بر روی نتایج حاصله برای RAI,wr ساده تر است. به این منظور، توجه داشته باشید که وقتی سرویس تعیین کننده باشد RAI و RAI,wr مشابه هم عمل می کنند. این مشاهده ای است که همان نمونه گیری مجدد در همان زمان سرویس حاصل خواهد شد. چون زمان سرویس هیچ گاه برای RAI تغییر نمی کند، عنی pmf (و pgf)، روی زمان سرویس معادل با pmf (و pgf) شر گذاشته است، با فرض اینکه زمان سرویس تعیین کننده ای وجود دارد. این مشاهدات نشان می دهند که pgf زمان سرویس موثر یک مشتری با توجه به اینکه زمان سرویس آن k شکاف است، می تواند با جایگزینی (نیاز به دانلود ترجمه) - یعنی pmf متناظر با زمان سرویس طول ثابت k شکاف – در معادلات 14 تا 16 بدست آید

که در آن ماتریس های (نیاز به دانلود ترجمه) و (نیاز به دانلود ترجمه) به ترتیب در فرمول های (12) و (13) تعریف شده اند.

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

ماتریس در بخش های زیر استفاده خواهد شد.

4- محتوای صف

ما ابتدا محتوای صف در در سرآغاز حرکت ها در نظر می گیریم، یعنی، در آغاز یک شکاف پس از شکافی که در آن مشتری سیستم را ترک می کند. (نیاز به دانلود ترجمه) را برابر محتوای صف در آغاز حرکت Kامین مشتری قرار دهید و (نیاز به دانلود ترجمه) را برابر حالت فرایند تعطیلی در عرض شکافی قرار دهید که در آن این مشتری سیستم را ترک می کند. به علاوه، (نیاز به دانلود ترجمه) را برابر pgf جزئی متناظر با محتوای صف در kامین آغاز حرکت و حالت متناظر فرایند تعطیلی قرار دهید، برای مقادیر (نیاز به دانلود ترجمه) داریم:

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

حال ما محتوای صف را در k امین و (k+1) امین آغاز حرکت مرتبط می سازیم. با توجه به ینکه صف پس از حرکت kامین مشتری خالی است، تعطیلی توصیف شده با ماتریس (نیاز به دانلود ترجمه) در نظر گرفته شده است و پس از ان تعطیلی ها با ماتریس (نیاز به دانلود ترجمه) تا زمانی توصیف شده اند که حداقل یک مشتری در صف پس از بازگشت از تعطیلی وجود داشته باشد. پس از آن به یک مشتری سرویس دهی می شود که سیستم را در (k+1) امین آغاز حرکت ترک می کند. از طرف دیگر، با توجه به اینکه kامین مشتری یک سیستم غیر خالی را پشت سر گذاشته و ترک می کند، تعطیلی توصیف شده با ماتریس (نیاز به دانلود ترجمه) در نظر گرفته شده است، و (k+1) امین مشتری سرویس گرفتن را پس از آن به سرعت آغاز می کند. با استفاده از چند تغییر ماتریس و تبدیل z استاندارد، می توان رابطه زیر را میان بردارهای (نیاز به دانلود ترجمه) و (نیاز به دانلود ترجمه) بازیابی نمود

که در آن ما فرمول زیر را برای مقادیر (نیاز به دانلود ترجمه) برای سادگی نشانه گذاری ارائه می کنیم

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

عبارات بعدی در سمت راست معادله (21) متناظر با (1) موردی هستند که در آن به محض حرکت k امین مشتری چندین مشتری دیگر در صف قرار دارند، (2) موردی که در آن هیچ به محض حرکت k امین مشتری هیچ مشتری دیگری در صف وجود ندارد، اما پس از تعطیلی که بعد از خروج این مشتری در نظر گرفته شده است مشتریان وارد صف می شوند و (3) موردی که در آن هنوز پس از تعطیلی ذکر شده قبلی هیچ مشتری در صف وجود ندارد.

با در نظر گرفتن این فر که سیستم تحت بررسی به توازن می رسد، U(z) را برابر بردار pgf جزئی محوای ف در زمان حرکت در موازنه قرار دهید. معادله اول فرمول زیر را حاصل می کند

با

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

1. تمام نقاط (نیاز به دانلود ترجمه) را در (نیاز به دانلود ترجمه) که در آن (نیاز به دانلود ترجمه) منحصربفرد است بیابید. برای هر ، یک بردار ستونی غیر صفر (نیاز به دانلود ترجمه) بیابید به گونه ای که (نیاز به دانلود ترجمه) باشد.

2. برای تمام مقادیر j، (نیاز به دانلود ترجمه) را در معادله (24) قرار دهید و آن را در (نیاز به دانلود ترجمه) متناظر در سمت راست صرب کنید، که این منجر به ایجاد معادله ای خطی برای بردار ناشناخته U(0) می شود.

شرایط نرمال سازی (نیاز به دانلود ترجمه) منجر به ایجاد معادله خطی دیگری برای بردار ناشناخته U(0) می شود. در اینجا (نیاز به دانلود ترجمه) اشاره به برداری ستونی (نیاز به دانلود ترجمه) دارد که تمام عناصر آن مساوی 1 هستند.

4. بردار ناشناخته U(0) پس از آن با حل مجموعه اول از معادلات خطی حل شده است.

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

حال ما روی pgf محتوای بافر در سرآغازهای متفاوت زمانی تمرکز می کنیم. واضح است که pgf محتوای بافر در سرآغازهای حرکت U(z) با فرمول زیر داده شده است

تحت این فرض که هیچ ورود همزمانی به شکاف ها وجود ندارد، pgf اول نیز pgf محتوای صف در لحظه ورود نیز هست. به علاوه pgf N(z) محتوای بافر در کران های شکاف تصادفی تابع تولید U(z) محتوای بافر را در سرآغاز حرکت مشتریان به فرمول زیر ربط می دهد:

اهمیت ویژگی تولید pgf به ما این امکان را می دهد تا به مقیاس های عملکرد مختلفی نظیر میانگین و واریانس محتوای صف در موازنه دست یابیم.

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

یک مشتری تصادفی را در نظر بگیرید و D را برابر تأخیر این مشتری قرار دهید، U مساوی تعداد مشتریان در صف به محض حرکت این مشتری است و (نیاز به دانلود ترجمه) اشاره به تعداد مشتریانی دارد که در طول همان شکاف سرویس رسانی مشتری نشانه گذاری شده پس از آن مشتری خدمات دریافت می کنند. بنابراین متغیر به صورت زیر است:

با Ej که تعداد ورودها در عرض jامین شکافی است که مشتری در صف صرف می کند. این عبارت از این حقیقت متبعت می کند که تمام مشتریانی که در صف هستند به محض حرکت مشتری نشانه گذاری شده، یا در عرض این تأخیر مشتری یا در همان شکاف پس از مشتری نشانه گذاری شده وارد سیستم می شوند. متأسفانه، (نیاز به دانلود ترجمه) و D همبسته اند. اما اجتناب از این مشکل همبستگی با استفاده از مشی رویس دسته ای مشتری ممکن است.

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

زمان سرویس موثر دسته ای به عنوان تعداد شکاف های میان آغاز شکافی تعریف شده که در آن اولین مشترین دسته برای اولین بار خدمات دریافت می کند و پایان شکافی که در آن آخرین مشتری دسته سیستم را ترک می گوید. به همین دلیل زمان سرویس موثر دسته ای معادل با جمع زمان های سرویس موثر تمام مشتریان در دسته و تعطیلی هایی است که می توانند بین خدمت رسانی به مشتریان دسته رخ دهند. (نیاز به دانلود ترجمه) را برابر ماتریس pgf شرطی زمان های سرویس موثر دسته است، بنابراین داریم

می توانیم pgf محتوای صف را در زمان های حرکت دسته با جایگزین کردن زمان سرویس موثر با زمان سرویس موثر و ورودهای مشتری با ورودهای مشتری دسته ای در عبارات بخش قبلی بدست آوریم. این منجر به ایجاد بردار (نیاز به دانلود ترجمه) می شود، یعنی بردار pgf جزئی محتوای صف در دسته ها در زمان های حرکت دسته. توجه داشته باشید که (نیاز به دانلود ترجمه) است چون هیچ دسته ای د صف اشاره به هیچ مشتری در صف ندارد و رعکس.

زمان انتظار دسه ای اشاره به تعداد شکاف های میان پایان شکافی دارد که در آن دسته به صف وارد می شود و آغاز شکافی که در آن اولین مشتری دسته خدمت رسانی می شود. تمام دسته ها در صف به محض حرکت یک دسته یا در عرض زمان انتظار دسته یا زمان سرویس موثر دسته ای در این دسته وارد سیستم می شوند چون حداکثر یک ورود دسته ای در عرض یک شکاف وجود دارد. (نیاز به دانلود ترجمه) اشاره به بردار pgf جزئی زمان انتظار دسته دارد، بنابراین،

واضح است که عبارت قبلی به ما امکان تعیین (نیاز به دانلود ترجمه) را بر حسب متغیرهای شناخته شده می دهد.

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

که در آن (نیاز به دانلود ترجمه) اشاره به احتمال آن دارد که j مشتری وجود داشته باشند که در شکاف ورود مشتری تصادفی می رسند اما قبل از این مشتری تصادفی خدمات دریافت کرده اند. این احتمال با فرمول 41 داده شده است.

اهمیت ویژگی تولید pgf به ا اجازه می دهد تا مقیاس های عملکردی نظیر میانگین و واریانس تأخیر مشتری را تعیین کنیم. توجه داشته باشید که جمع های نامتناهی در معادلات 31 و 33 مشکلاتی که در تجزیه ریشه مشخصه ماتریس (نیاز به دانلود ترجمه) پس از انحراف و ارزیابی در z=1 این عبارات با آن مواجه می شویم را تحمیل نمی کنند. 6- موارد خاص

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

1-6- سیستم های تعطیلی گسترده (جامع)

در سیستم هایی که تعطیلی های جامعی دارند، سرور هرگاه صف پس از حرکت یک مشتری خالی شود تعطیلی را شروع می کند (وارد دوره استراحت می شود). اگر صف به محض بازگشت از یک تعطیلی هنوز هم خالی باشد، سرور یا به سرعت تعطیلی دیگری در پیش می گیرد و یا تا زمانی که مشتری جدید وارد شود بیکار می ماند. می توان به این سیاست ها به ترتیب با عنوان سیاست تعطیلی چندتایی و منفرد اشاره کرد.

با این فرض که تعطیلی های متوالی شامل یک سری متغیر تصادفی i.i.d. هستند، رفتار صف (نیاز به دانلود ترجمه) با چندین تعطیلی و تعطیلی منفرد را می توان با استفاده از ماتریس تعطیلی (نیاز به دانلود ترجمه) زیر بازیابی کرد

و به ترتیب برای سیستم تعطیلی تکی و چندتایی با استفاده از (نیاز به دانلود ترجمه) یا . در اینجا، V(z) اشاره به pgf تعطیلی های متوالی دارد. چون هیچ تعطیلی در عرض سرویس رسانی به مشتری وجود ندارد، مورد دوم هیچ گاه دچار وقفه نمی شود و بنابراین زمان های سرویس موثر مشتری برابر زمان سرویس آن است. به همین دلیل، واضح است که نیازی به تحمیل کران بالایی برای زمان های سرویس مشتری وجود ندارد. نتایج ما با نتایج Takagi مغایرت دارند.

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

2-6- سیستم های صف بندی با وقفه ها

سیستم (نیاز به دانلود ترجمه) را در نظر بگیرید که در آن سرور تکی بین دوره های دسترسی و دوره های تعطیلی متناوباً حرکت می کند، مستقل از بقیه سیستم. بخصوص، می توان موردی را در نظر گرفت که در آن دوره های دسترسی و تعطیلی متوالی با یک سری متغیر تصادفی i.i.d مدلسازی شده اند و در آن دوره های دسترسی در توزیع هندسی معمول با هم اشتراک دارند. در بخش 6 نشان داده شه که چنین مدلی عملکرد ترافیک با اولویت پایین را در صف اولویت انحصاری (نیاز به دانلود ترجمه) ثبت و ضبط می نماید. می توان به سادگی تأیید کرد که ماتریس تعطیلی زیر برای مقادیر (نیاز به دانلود ترجمه) متناظر با سیستم تحت بررسی است

در اینجا (نیاز به دانلود ترجمه) اشاره به احتمال این دارد که یک دوره دسترسی در عرض شکاف بعدی ادامه یابد و V(z) اشاره به pgf مشترک دوره های تعطیلی دارد. نتایج قبلی با نتایج ارائه شده در بخش 6 مغایرت دارند. می توان تأیید کرد که در این مورد خاص مجبور نیستیم کران بالایی برای زمان های سرویس تعیین کنیم.

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.