شرایط بهینه سازی مسائل برنامه ریزی خطی با ضرایب فازی Optimality conditions for linear programming problems with fuzzy coefficients

1. مقدمه

وقوع فازی در دنیای واقعی در برخی از حوادث غیر مترقبه اجتناب ناپذیر است. بنابراین ، تحمیل فازی بر مشکلات بهینه سازی مرسوم یک موضوع تحقیقاتی جالب می شود. مجموعه ای از مقالات درمورد بهینه سازی فازی توسط استواینسکی و دلگادو و همکاران به چاپ رسیده و جریان اصلی این موضوع را نشان می دهد. لای و هوانگ نیز برآوردی بیشن آفرین در این مورد نشان می دهند. از سوی دیگر ، کتاب به چاپ رسیده توسط استواینسکی و تگم برای مشکلات برنامه نویسی چند هدفه مقایسه ای بین بهینه سازی فازی و بهینه سازی تصادفی ارائه می کند. بلمن و زاده توسط اپراتورهای انبوه ، که ترکیبی از اهداف فازی و فضای تصمیم گیری فازی هستند، گسترش بهینه سازی فازی را القاء می کنند. پس از این انگیزش و القاء ، مقالات بسیاری درمورد مقابله با مشکلات بهینه سازی فازی پدید می آید. برخی از مقالات جالب توسط باکلی، جولین و لوهانجولا و همکاران با استفاده از توزیع احتمال ، هرا و همکاران و و زیمرمان ، با استفاده از محدودیت های فازی شده و توابع هدف ، اینوگوچی و همکاران با استفاده از سنجش های کیفی ، تاناکا و آسای با استفاده از پارامترهای فازی ، و لی و لی [17-19] مجدداً به بررسی مشکل برنامه نویسی پرداختند.

دوگانگی موجود در مشکل برنامه ریزی خطی فازی در مرحله اول توسط رادر و زیمرمان با توجه به تفسیر اقتصادیِ متغیر دوگانه مورد مطالعه قرار گرفت. پس از آن ، بسیاری از نتایج جالب توجه در خصوص دوگانگیِ مسئله برنامه ریزی خطی فازی توسط بکتور و همکاران، لیو و همکاران ، رامیک ، وردگی و وو مورد بررسی قرار گرفتند. در این مقاله ، شرایط بهینه سازی را توسط ضرایب فازی برای مشکلات برنامه ریزی خطی بررسیمی کنیم.

در بخش 2 ، برخی از ویژگی های اصلی و حسابی اعداد فازی را مطرح می نماییم. در بخش 3 ، دو مسئله برنامه ریزی خطی را توسط ضرایب فازی فرمول بندی می کنیم. یکی از مسائل به محدودیت های خطی غیردقیق (متعارف) توجه نموده ، و مسئله دیگر محدودیت های خطی فازی را در نظر می گیرد. دو راه حل برای این دو مسئله ارائه شده است. در بخش 4 ، شرایط بهینه سازی برای این دو مسئله را با معرفی ضریب ها استنباط می کنیم. در نهایت ، در بخش 5 ، سه مثال برای نشان دادن بحث در مورد مسائل برنامه ریزی خطی با ضرایب فازی ارائه شده است.

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

فرض کنیدR (نیاز به دانلود ترجمه) مجموعه ای از تمام اعداد حقیقی است. زیر مجموعه های فازی a ̃ از Rتوسط تابع ξ_a ̃∶R→[0و1] تعریف شده اند که تابع عضویت نامیده می شود. مجموعه ی سطح α از a ̃، که توسط مشخص شده اند، توسط a ̃_α برای تمام αϵ[0و1]تعریف می شوند. مجموعه a ̃_α در سطح 0 ، به صورت مجموعه بسته تعریف شده است ، به عنوان مثال ، (نیاز به دانلود ترجمه) .

تعریف 2.1. ما توسط ، مجموعه ای از تمام زیر مجموعه های فازی a ̃ (نیاز به دانلود ترجمه) از R (نیاز به دانلود ترجمه) را تابع عضویتξ_a ̃ با شرایط زیر نشان می دهیم :

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

(2) ξ_a ̃ (نیاز به دانلود ترجمه) شبه مقعر است ، به عنوان مثال ، (نیاز به دانلود ترجمه) برای همه (نیاز به دانلود ترجمه) و (نیاز به دانلود ترجمه) می باشد؛

(3) ξ_a ̃ (نیاز به دانلود ترجمه) ، به عنوان مثال ، (نیاز به دانلود ترجمه) زیر مجموعه بسته ای از U (نیاز به دانلود ترجمه) برای هر (نیاز به دانلود ترجمه) است؛

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

جزء a ̃ در (نیاز به دانلود ترجمه) یک عدد فازی نامیده می شود.

اکنون فرض کنید که (نیاز به دانلود ترجمه) است. به گفته زاده ، مجموعه a ̃_α در سطح( a) ̃ (نیاز به دانلود ترجمه) زیر مجموعه ای محدب از R برای هر (نیاز به دانلود ترجمه) در وضعیت (2) می باشد. با ترکیب این واقعیت با شرایط (3) و (4) ، مجموعه a ̃_α در سطح0 زیر مجموعه ای بهم پیوسته و محدب از R برای همه می باشد. ، یعنی a ̃_α در یک بازه ی بسته R (نیاز به دانلود ترجمه) برای هر می باشد. بنابراین آن را بصورت (نیاز به دانلود ترجمه) می نویسیم.

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

تذکر 2.1. فرض کنید ( a) ̃ یک عدد فازی باشد. بنابراین اگر ( a) ̃نامنفی باشد و آنگاه و برای همه (نیاز به دانلود ترجمه) است، و اگر ( a) ̃مثبت باشد و آنگاه و (نیاز به دانلود ترجمه) برای همه (نیاز به دانلود ترجمه) است . می توانیم نتایج مشابهی را برای اعداد فازی غیرمثبت و منفی داشته باشیم.

فرض کنید (نیاز به دانلود ترجمه) ، عملیاتی دودویی برای ⊕ یا ⊗بین دو عدد فازی ( a) ̃و ( b) ̃است. تابع عضویت به صورت زیر تعریف می شوند:

با استفاده از اصل گسترش زاده ، در عملیات (نیاز به دانلود ترجمه) و (نیاز به دانلود ترجمه) متناظر با و (نیاز به دانلود ترجمه) می باشد. پس می توانیم نتایج زیر را بگیریم.

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

(1) و

(2) و

قضیه ای به شرح زیر بسیار مفید برای بحث در مورد شرایط بهینه سازی است .

قضیه 2.2. فرض کنید ( a) ̃ یک عدد فازی نامنفی و ( b) ̃ یک عدد فازی نامثبت باشد. اگر باشد، آنگاه برای همه ، می باشد.

اثبات : از قضیه 2.1 (2) ، بلافاصله داریم که است ، پس

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

برای همه است. بنابراین ، نیاز داریم که نشان دهیم که برای همه است . موارد زیر را در نظر می گیریم.

(1) فرض کنید که (نیاز به دانلود ترجمه) است. آنگاه بوده و در نتیجه (نیاز به دانلود ترجمه) می باشد. بنابراین (نیاز به دانلود ترجمه) است، یعنی ، (نیاز به دانلود ترجمه) است.

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

(3) فرض کنید که (نیاز به دانلود ترجمه) است. سپس (نیاز به دانلود ترجمه) است. چون ، است و ما توسط گزینه (1) می دانیم (نیاز به دانلود ترجمه) است. بنابراین( a) ̃ نامنفی است، (نیاز به دانلود ترجمه) نشان می دهد که است. اثباتمان کامل شد.

می گوییم که ( a) ̃در صورتی یک عدد غیردقیق با ارزش m که تابع عضویت آن باشد:

همچنین از نماد (نیاز به دانلود ترجمه) برای نشان دادن عدد غیردقیق با ارزش m استفاده می کنیم. آسان است که نشان دهیم (نیاز به دانلود ترجمه) برای همه (نیاز به دانلود ترجمه) است. فرض کنید که عدد حقیقی m را می توان به عنوان یک عدد غیردقیق (نیاز به دانلود ترجمه) در نظر گرفت.

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

فرض کنید (نیاز به دانلود ترجمه) و (نیاز به دانلود ترجمه) دو فاصله بسته باشند. می نویسیم (نیاز به دانلود ترجمه) است اگر و تنها اگر (نیاز به دانلود ترجمه) ، باشد و (نیاز به دانلود ترجمه) است اگر و تنها اگر به شرح زیر باشد :

فرض کنید a ̃و b ̃دو عدد فازی هستند. سپس و دو فاصله بسته در Rبرای همه (نیاز به دانلود ترجمه) می باشند. می نویسیم اگر و تنها اگر برای همه (نیاز به دانلود ترجمه) است یا برای همه معادل است.به آسانی مشاهده می شود که یک ترتیب جزئی در (نیاز به دانلود ترجمه) می باشد.

برای راحتی ، ما توسط ~ 0 عدد غیردقیق (نیاز به دانلود ترجمه) با را بصورت می نویسیم. اینک دو مسئله برنامه ریزی خطی زیرا را با ضرایب فازی در نظر می گیریم:

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

که در آن یک عدد غیردقیق با ارزش برای (نیاز به دانلود ترجمه) می باشد. مسئله (FLP1) محدودیت های غیردقیق (متعارف) ، و مسئله (FLP2) محدودیت های فازی را در نظر می گیرد. برای ارائه مناسب ، می نویسیم:

نیاز به تفسیر معنای کمینه سازی مسائل (نیاز به دانلود ترجمه) (FLP1) و (FLP2)داریم. از آنجا که (نیاز به دانلود ترجمه) یک ترتیب جزئی بر روی (نیاز به دانلود ترجمه) است نه ترتیب کلی، ممکن است ما به دنبال مفهومی مشابه باشیم که (راه حل نامغلوب ) در مورد مسئله برنامه نویسی چند هدفه برای تفسیر معنی کمینه سازی مسائل (FLP1) و ( FLP2) بکار رفته است.

دو نوع راه حل نامغلوب را در نظر خواهیم گرفت. می نویسیم (نیاز به دانلود ترجمه) است اگر و تنها اگر (نیاز به دانلود ترجمه) برای همه (نیاز به دانلود ترجمه) باشد و (نیاز به دانلود ترجمه) وجود داشته باشد به طوری که (نیاز به دانلود ترجمه) باشد ، به عنوان مثال:

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

بنابراین ، می بینیم که به معنای و (نیاز به دانلود ترجمه) می باشد. ازسوی دیگر ، می نویسیم (نیاز به دانلود ترجمه) است اگر و تنها اگر برای همه (نیاز به دانلود ترجمه) باشد. یعنی (2) برای ایفای (نیاز به دانلود ترجمه) می باشد.

تعریف 3.1 . فرض کنید x* یک راه حل عملی برای مسئله (FLP1)است. می گویند که x* در صورتی راه حل نامغلوب نوع 1 مسئله (FLP1)است( نسبت به راه حل نامغلوب نوع2) که هیچ راه حل عملی (نیاز به دانلود ترجمه) وجود نداشته باشد به طوری که (نیاز به دانلود ترجمه) باشد. راه حل های نامغلوب نوع 1 و 2 را می توان به طور مشابه برای مسئله (FLP2) در نظر گرفت.

در ادامه ، ما به دنبال ارائه شرایط بهینه سازی برای راه حل نامغلوب مسئله های (FLP1) و (FLP2) می رویم.

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

به منظور استنباط شرایط بهینه سازی مسئله های (FLP1) و (FLP2)، نیاز به یادآوری شرایط کاروش - کوهن - تاکر برای مسئله برنامه ریزی غیر خطی داریم. فرض کنید ، ارزش واقعی توابع تعریف شده در (نیاز به دانلود ترجمه) است. سپس مسئله برنامه ریزی غیر خطی (متعارف) زیر را در نظر می گیریم :

فرض کنیم که توابع محدود (نیاز به دانلود ترجمه) در (نیاز به دانلود ترجمه) برای هر (نیاز به دانلود ترجمه) محدب هستند. آنگاه شرایط بهینه سازی شناخته خوب شده کاروش - کوهن - تاکر برای مسئله(NLP) (به عنوان مثال ، به هورست و همکاران یا بازارا و همکاران نگاه کنید) بشرح ذیل می باشد.

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

آنگاه x* راه حلی بهینه برای مسئله (NLP) است.

اکنون ما در موقعیتی استنباط شرایط بهینه سازی برای مسئله های (FLP1) و (FLP2) هستیم.

4.1 . محدودیت های غیردقیق (متداول)

اینک مسئله (FLP1) را با محدودیتهای غیردقیق در نظر بگیرید. ما نمادهای زیر را اتخاذ می نماییم:

که در آن (نیاز به دانلود ترجمه) و برای همه هستند . همچنین می بینیم (نیاز به دانلود ترجمه) برای همه (نیاز به دانلود ترجمه) و (نیاز به دانلود ترجمه) است. همچنین توسط (نیاز به دانلود ترجمه) بردار واحد در (نیاز به دانلود ترجمه) را برای نشان می دهیم ، به عنوان مثال ، مولفه kthاز برابر با 1 است و سایر مولفه های صفر هستند.

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

(1)

(2) (نیاز به دانلود ترجمه) برای همه (نیاز به دانلود ترجمه) ، همه (نیاز به دانلود ترجمه) ، (نیاز به دانلود ترجمه) می باشد ، که در آن است،

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

اثبات : به دنبال اثبات این نتیجه تناقض می رویم. فرض کنید که شرایط (1) و (2) اجرا شده اند و x* یک راه حل نامغلوب نوع 1 نیست. آنگاه یک راه حل عملی برای این مسئله (نیاز به دانلود ترجمه) وجود دارد ،به طوری که (نیاز به دانلود ترجمه) است ، به عنوان مثال ، ازمورد (2)، داریم:

(3)

برای برخی (نیاز به دانلود ترجمه) است. از آنجا که برای i = 1, . . . , n و برای همه (نیاز به دانلود ترجمه) و همه i = 1, . . . , nاست ، با استفاده از قضیه 2.1، داریم:

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

همچنین داریم:

(5)

 

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

(6)

 

 

سپس می بینیم که

(7) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه)

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

(8) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه)

پس (نیاز به دانلود ترجمه) و است .علاوه بر این ، از (5) و (7) ، داریم:

(9) (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه)

مسئله بهینه سازی محدود شده زیر را در نظر می گیریم:

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

با استفاده از قضیه 4.1 ، می بینیم که شرایط (1) و (2) فوق شرایط KKT برای مسئله (P1) هستند. بنابراین ، نتیجه گیری می کنیم که x* راه حلی بهینه شده از مسئله d (P1) می باشد ، یعنی ، ، که در تضاد با مورد (8) است. این اثبات کامل شد.

تذکر 4.1. توابع ارزش واقعی مثبت ، (نیاز به دانلود ترجمه) و (نیاز به دانلود ترجمه) ، و توابع ارزش واقعی نامنفی μj و (نیاز به دانلود ترجمه) برای j = 1, . . . ,m, و k = 1, . . . , n را می توان به شرح زیر ایجاد نمود. برای هر گونه (نیاز به دانلود ترجمه) ثابت ، اگر برای j = 1, . . . ,m, و k = 1, . . . , n اعداد واقعی مثبت (نیاز به دانلود ترجمه) و (نیاز به دانلود ترجمه) ، و اعداد واقعی نامنفی (نیاز به دانلود ترجمه) و (نیاز به دانلود ترجمه) وجود داشته باشد، شرایط زیر را اعمال می گردد:

سپس می توانیم توابع با ارزش واقعی مثبت ، (نیاز به دانلود ترجمه) و (نیاز به دانلود ترجمه) را برای همه (نیاز به دانلود ترجمه) ، و توابع با ارزش واقعی نامنفی (نیاز به دانلود ترجمه) و (نیاز به دانلود ترجمه) را برای همه (نیاز به دانلود ترجمه) و همه j = 1, . . . ,m, و k = 1, . . . , n تعریف نماییم. بنابراین ، در صورتی که شرایط فوق (الف) و (ب) برای (نیاز به دانلود ترجمه) ،اعمال گردد، آنگاه x* راه حل نامغلوب نوع 1 مسئله (FLP1) توسط قضیه 4.2 می باشد.

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

آنگاه x* راه حل نامغلوب نوع 2 برای مسئله(FLP1) می باشد.

اثبات : برای اثبات به دنبال رد نتایج می رویم. فرض کنید که حالات (1) و (2) اعمال گردیدند و x* راه حل نامغلوب نوع 2 نیست. آنگاه راه حلی عملی برای (نیاز به دانلود ترجمه) وجود دارد به طوری که (نیاز به دانلود ترجمه) ، برای تمام (نیاز به دانلود ترجمه) اعمال می گردد. می توانیم برای (نیاز به دانلود ترجمه) در شرایط (1) و (2) ، تابعی با ارزش حقیقی را تعریف کنیم :

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

سپس می بینیم که:

(11) (نیاز به دانلود ترجمه)

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

مابقی اثبات مشابه قضیه 4.2 می باشد.

اکنون بدون در نظر گرفتن به دنبال ارائه شرایط بهینه سازی برای راه حل نامغلوب نوع 2 می باشیم.

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

تذکر 4.2. فرض کنید بتواند یک عدد فازی باشد و تابع عضویت آن به شدت در فاصله زمانی افزایش یابد و در فاصله (نیاز به دانلود ترجمه) به شدت کاهش یابد. آنگاه ، و (نیاز به دانلود ترجمه) با توجه به واقعیت یکنواختی و متغیر α در [0،1] توابع پیوسته می باشند. این امر نشان می دهد که عدد فازی متعارف است.

فرض کنید (نیاز به دانلود ترجمه) یک تابع برداری تعریف شده روی فاصله بسته باشد به طوری که هر یک از مولفه های (نیاز به دانلود ترجمه) (نیاز به دانلود ترجمه) بر روی [a, b] شود. آنگاه انتگرال ریمان f در [a, b] برای هر یک از مولفه های انتگرال ریمان (نیاز به دانلود ترجمه) [a, b] تعریف می شود. بطور دقیقتر ، داریم:

اینک با در نظر گرفتن انتگرال ریمان در موقعیت ارائه نوع دیگری از شرایط بهینه سازی هستیم.

قضیه 4.4. فرض کنید که ضرایب فازی برای i = 1, . . . , n در تابع هدف با ارزش فازی (نیاز به دانلود ترجمه) اعداد فازی متعارف تصور می شود. فرض کنید راه حل عملی مسئله(FLP1) است. در صورتی که اعداد با ارزش واقعی مثبت (نیاز به دانلود ترجمه) و (نیاز به دانلود ترجمه) ارزش واقعی نامنفی (نیاز به دانلود ترجمه) μj و (نیاز به دانلود ترجمه) برایj = 1, . . . ,m و k = 1, . . . , n به گونه ای وجود داشته باشد که شرایط زیر اعمال گردد : (نیاز به دانلود ترجمه)

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

آنگاه x*راه حل نامغلوب نوع 2 برای مسئله(FLP1) می باشد.

اثبات : برای هر x ثابت ، نظر به اینکه و بر روی [0،1] پیوسته بوده و با توجه به متغیر α ، انتگرال ریمان در [0،1] (نیاز به دانلود ترجمه) خواهد بود. بنابراین ، می توانیم یک تابع حقیقی را به شرح زیر تعریف نماییم:

برای هر α ثابت، نظر به اینکه (نیاز به دانلود ترجمه) و (نیاز به دانلود ترجمه) توابع خطی هستند ، به طور مداوم ، توسط R قضیهرادین [قضیه 9.42]مشتقپذیر هستند و داریم:

(14)

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

برای همه (نیاز به دانلود ترجمه) با توجه به (نیاز به دانلود ترجمه) و این امر اعمال می گردد. با گرفتن انتگرال α در [0،1] و با استفاده از (13) ، را به دست می آوریم. اینک مسئله بهینه سازی محدود شده (P1) را که در قضیه 4.2 اثبات شده را در نظر می گیریم. فرمول (14) را در حالت (1) و (2) این قضیه بکار می بریم و دو حالت زیر به دست می آوریم :

مابقی اثبات مشابه قضیه 4.2 می باشد.

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

آنگاه قضیه 4.4 اگر حالت (1) با حالات جدید زیر جایگزین شود، باز هم صادق می باشد:

اینک به دنبال ارائه شرایط بهینه سازی مسئله (FLP1) به شکل ارزش فازی می رویم. ما را می نویسیم. فرض کنید x ، بردار n در است. آنتگاه بردار غیردقیق به صورت (نیاز به دانلود ترجمه) تعریف می شود. فرض کنید (نیاز به دانلود ترجمه) n بردار در است . میگوییم که a علامتی یکسان دارد اگر و تنها اگر به طور همزمان برای همهi = 1, . . . , n ، باشد، یا برای همهi = 1, . . . , n به طور همزمان باشد(به عنوان مثال ، مولفه های بردار a علامتی یکسان دارند). یا بطور معادل، a علامتی یکسان دارد اگر و تنها اگر (نیاز به دانلود ترجمه) یا باشد.

قضیه 4.5. فرض کنید x*راه حلی عملی برای مسئله(FLP1) و است. فرض می کنیم که هر بردار (نیاز به دانلود ترجمه) دارای علامت یکسانی برای j = 1, . . . ,m ،k = 1, . . . , n است. اگر اعداد فازی نامنفی (نیاز به دانلود ترجمه) برایj = 1, . . . ,m و k = 1, . . . , n وجود داشته باشند به طوری که حالات زیر اعمال شود،

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

اثبات : فرض کنیم می که حالات (1) و (2) اعمال شده اند. فرض می کنیم و (نیاز به دانلود ترجمه) مجموعه شاخص های تعریف شده توسط فرمول زیر باشند؛

آنگاه

مولفه i ام فرمول در حالت (1) بصورت زیر نشان داده می شود:

(15)

که در آن است، اگر و (نیاز به دانلود ترجمه)

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

برای همه است ، که همچنین ، با اضافه کردن آنها به هم ایجاب می شود،

(16)

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

برای همه و همه j = 1, . . . ,m است و

برای همه و همه است k = 1, . . . , n ، که ، با اضافه کردن آنها را با هم این مفهوم را میرسانند ،

(17)

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

(18)

برای همه و همه k = 1, . . . , n است. در حال حاضر مسئله بهینه سازی محدود شده (P1)را مانند اثبات قضیه 4.2 در نظر می گیریم. با توجه به رابطه (16) - (18) و (9) ، دو حالت جدید به دست می آوریم :

الف) (توجه داشته باشید که (16) برای اعمال می گردد) ؛

ب) (نیاز به دانلود ترجمه) برای همه j = 1, . . . ,m و همه k = 1, . . . , n (توجه داشته باشید که (17) و (18) برای همه اعمال شده است).

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

4.2 محدودیت های فازی

اینک به دنبال استنباط شرایط بهینه سازی مسئله (FLP2) با محدودیت های فازی می رویم. یادآوری می کنیم که محدودیت های فازی برای (نیاز به دانلود ترجمه) j = 1, . . . ,m به صورت زیر ارائه شده اند:

با استفاده از قضیه 2.1 ، برای (نیاز به دانلود ترجمه) داریم:

که در آن

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

آنگاه (نیاز به دانلود ترجمه) و است. اینک در موقعیتی استنباط شرایط بهینه سازی مسئله (FLP2) قرار داریم.

قضیه 4.6. فرض کنید x*راه حل عملی برای مسئله (FLP2) است.

(الف)در صورت وجود ، توابع (نیاز به دانلود ترجمه) و (نیاز به دانلود ترجمه) با ارزش واقعی مثبت در [0،1] ، و ، توابع μj و (نیاز به دانلود ترجمه) ارزش واقعی نامنفی برای j = 1, . . . ,m و همه k = 1, . . . , n (نیاز به دانلود ترجمه) در [0،1] به طوری که شرایط زیر اعمال گردد :

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

(ب) در صورت وجود ، توابع (نیاز به دانلود ترجمه) وبا (نیاز به دانلود ترجمه) ارزش واقعی مثبت در [0،1] ، و ، توابع μj و (نیاز به دانلود ترجمه) با ارزش واقعی نامنفی برایj = 1, . . . ,m و همه k = 1, . . . , n (نیاز به دانلود ترجمه) در [0،1] به طوری که شرایط زیر اعمال گردد :

آنگاه x* راه حل نامغلوب نوع 1 برای مسئله (FLP2) می باشد.

اثبات( الف): برای اثبات به دنبال رد نتایج می رویم. فرض کنید که حالات (1) و (2) اعمال گردیدند و x* یک راه حل نامغلوب نوع 1 نیست. آنگاه راه حلی عملی برای (نیاز به دانلود ترجمه) وجود دارد به طوری که (نیاز به دانلود ترجمه) است ، به عنوان مثال ، در فرمول (3) حدود است (نیاز به دانلود ترجمه) . اینک ارزش واقعی تابع f در فرمول (6) یا در فرمول (7) را تعریف می کنیم و مسئله بهینه سازی محدود شده زیرا در نظر می گیریم:

جهت مشاهده متن کامل، فایل ترجمه را دانلود نمایید.

با استفاده از قضیه 4.1 ، می بینیم که x* با رعایت شرایط فوق (1) و (2) به عنوان شرایط KKT راه حلی بهینه برای مسئله(P2) است، یعنی (نیاز به دانلود ترجمه) ، که در تضاد با (8) است.

(ب) ما اینک مسئله بهینه سازی محدود شده زیرا در نظر می گیریم:

سپس می بینیم که اگر x* راه حلی عملی برای مسئله (FLP2) باشد، آنگاه x* راه حل عملی برای مسئله (P2) نیز است. استدلال های مشابه فوق نیز می توانند مورد استفاده قرار گیرند. این امر اثبات را کامل می کند.

قضیه 4.7. فرض کنید x*راه حلی عملی برای مسئله (FLP2)است .